定积分与微积分基本定理（理）
1.已知f (x )为偶函数且
60
⎰
f (x )d x ＝8，则
6
-⎰
f (x )d x 等于 ( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16 解析：原式＝
06
-⎰
f (x )d x ＋
60
⎰
f (x )d x ，
∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等，即8×2＝16. 答案：D
2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2， x ∈[0，1]，
2－x ，x ∈[1，2]，
则
20
⎰
f (x )d x 等于 ( )
A.34
B.45
C.5
6 D ．不存在 解析：数形结合，
20
⎰
f (x )dx =
10
⎰
x 2dx +
2
1
⎰
(2-x )dx
=
321211
(2)3021x x x +- =
3115(422)326
x +--+=. 答案：C
3．计算以下定积分： (1) 2
1
⎰
(2x 2－1
x )d x ；
(2)
3
2
⎰
(x ＋
1x
)2
d x ； (3)
30
π
⎰
(sin x －sin2x )d x ；
解：(1)
2
1
⎰
(2x 2－1x )d x ＝(2
3x 3－ln x )21
＝163－ln 2－23＝14
3－ln 2. (2)
32
⎰
(x ＋
1
x
)2
d x ＝32⎰
(x ＋1
x
＋2)d x
＝(12x 2
＋ln x ＋2x )32
＝(9
2＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4) ＝ln 32＋92
.
(3)
30
π
⎰
(sin x －sin2x )d x ＝(－cos x ＋1
2
cos2x )30
π
＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14.
4．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( ) A ．1 B.4
3
C. 3 D ．2
解析：函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于
20
⎰
(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝
20⎰
(－x 2＋2x )d x ＝4
3
.
答案：B
5．已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为4
3
，则k ＝________.
解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k ]， 再由
k
⎰
(kx －x 2
)d x ＝(kx 22－x 33)0k ＝k 36＝4
3
求得k ＝2.
答案：2
6．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动， 记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________． 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx, P 点的坐标为(x ，y )， 则
x
⎰
(
kx －x 2)d x ＝
2x
⎰
(x 2－kx )d x ，
即(12kx 2－13x 3)0x ＝(13x 3－12kx 2)2x ， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－1
2
kx 2)，
解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．
答案：(43，16
9)
7.[1,2]内的位移为 ( ) A.176 B.143 C.136 D.116 解析：s ＝2
1
⎰
(t 2－t ＋2)d t ＝(13t 3－12t 2＋2t )|21
＝17
6
. 答案：A
8．若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要花费的功为( ) A ．0.05 J B ．0.5 J C ．0.25 J D ．1 J
解析：设力F ＝kx (k 是比例系数)，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，可解得k ＝100 N/m ，则F ＝100x ，所以
W ＝0.1
⎰
100x d x ＝50x 2
0.1
0＝0.5 J.
答案：B
9．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．
解析：据题意，v 与t 的函数关系式如下：
v ＝v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3
2t ，0≤t ＜20，
50－t ，20≤t ＜40，
10，40≤t ≤60.
所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为
s ＝
60
()d v t t ⎰
＝20
3
d 2
t t ⎰
＋4020(50)d t t -⎰＋604010d t ⎰
＝34t 2200＋(50t －12t 2)4020＋10t 4020
＝900米． 答案：900
10.(2010·烟台模拟)若y ＝
⎰
(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是 ( )
A ．1
B ．2
C ．－7
2 D ．0
解析：y ＝
x
⎰
(sin t ＋cos t sin t )d t ＝
x
⎰
(sin t ＋1
2
sin2t )d t
＝(－cos t －14cos2t )0
x ＝－cos x －14cos2x ＋5
4
＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋3
2
＝－1
2(cos x ＋1)2＋2≤2.
答案：B
11．(2010·温州模拟)若f (x )是一次函数，且10
⎰
f (x )d x ＝5，
10⎰
xf (x )d x ＝17
6
，那么
2
1
⎰
f (x )x
d x 的值是________．
解析：∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由
10
⎰
(ax ＋b )d x ＝5得(1
2ax 2＋bx )
10
＝1
2a ＋b ＝5， ① 由
10⎰
xf (x )d x ＝17
6
得
10
⎰
(ax 2＋bx )d x ＝
17
6
，即 (13ax 3＋12bx 2) 10＝176，∴13a ＋12b ＝17
6， ② 解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， 于是
2
1
⎰
f (x )
x
d x ＝2
1
⎰
4x ＋3
x
d x ＝2
1
⎰
(4＋3x
)d x
＝(4x ＋3ln x )2
1
＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.
答案：4＋3ln2
12．设f (x )＝
10
⎰
|x 2－a 2|d x .
(1)当0≤a ≤1与a ＞1时，分别求f (a )； (2)当a ≥0时，求f (a )的最小值． 解：(1)0≤a ≤1时， f (a )＝10
⎰
|x 2－a 2|d x
＝
a
⎰
(a 2－x 2)d x ＋
1a
⎰
(x 2－a 2)d x
＝(a 2
x －13x 3)0a ＋(x 33－a 2x )1
a
＝a 3
－13a 3－0＋0＋13－a 2－a 33
＋a 3
＝43a 3－a 2＋13. 当a ＞1时， f (a )＝
10
⎰
(a 2－x 2)d x
＝(a 2x －13x 3)10
＝a 2－13
.
∴f (a )＝32
241(0),
33
1(>311).
a a a a a ⎧-+⎪⎪⎨
⎪-⎪⎩
≤≤
(2)当a ＞1时，由于a 2－1
3在[1，＋∞)上是增函数，故f (a )在[1，＋∞)上的最小值是
f (1)＝1－13＝2
3
.
当a ∈[0,1]时，f ′(a )＝4a 2－2a ＝2a (2a －1)， 由f ′(a )＞0知：a ＞1
2或a ＜0，
故在[0，12]上递减，在[1
2，1]上递增．
因此在[0,1]上，f (a )的最小值为f (12)＝1
4.
综上可知，f (x )在[0，＋∞)上的最小值为1
4
.。