tann1 x n 1
In2
注:
或
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例8. 求
解: 设 F(x) x 1 x 1 , x 1
1 x , x 1
则
1 2
x2
x
C1
,
x 1
x
1 2
x2
C2
,
x 1
因 连续 , 利用
得
1 2
C1
1 2
C2
记作
C
得
1 2
1
C1
112121(212x(xx221C)12x2x)21C212C, C,C,,
ln
a
dx
1
ln
2 3
d
(
2 3
)
x
1 (32)2 x
arctan(
2 3
)x
C
ln 2 ln3
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例2. 求
解:
原式
[ln(x
1
x2
1
) 5]2
d
[ ln(x
1 x2 ) 5]
2 ln(x
1
x2
)
5
3 2
C
3
分析:
d [ ln(x
(1 2x ) dx
例10. 求
dx
xx
x.
1 e2 e3 e6
x
解:
令 t e6 ,
则
x 6lnt ,
dx
6 t
dt
原式 6
(1
t3
d
t t
2
t)
t
6
dt (t 1)(t 2 1) t
dt
6ln t 3ln t 1 3 ln(t2 1) 3arctan t C 2
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dx
ex arctan ex
(1
e2x ) 1 e2x
e2x
dx
e
x
arctan
e
x
x
1 2
ln
(1
e2
x
)
C
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例6. 求
解: 取
x3 x 2 3x2 1
e 2x
1 2
e
2x
6x
1 4
e
2x
60
1 8
e2x
1 16
e2x
原式
e2x
1 2
(
x3
x 2)
1 4
x
t
t
2
3
, 1
y
t
2
t, 1
而
dx
t 2 (t (t 2
2
3) 1)2
d
t
原式
t
t
2
3
1 1
t
3t 2
1
t 2 (t (t 2
2
3) 1)2
dt
1 2
ln
(x
y)2
1
C
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例5. 求
解: 原式 arctan exd ex
ex arctan ex
e
x
ex 1 e2x
2
d(cos x sin x) cos x sin x
x 2ln cos x sin x C
说明: 此技巧适用于形为 a cos x b sin x dx 的积分. c cos x d sin x
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例12. 求 I1 解：因为
sin x dx 及
a cos x b sin x I2
例14. 求 I
dx
(a b k π)
sin(x a) sin(x b)
解: I
=
1 sin(a b)
sin[(x a) (x b)] d sin(x a) sin(x b)
x
1 sin(a
b)
sin(x
a)cos(x b) cos(x a)sin(x sin(x a) sin(x b)
习题课
第四章
不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x (t))
注意常见的换元积分类型, 如掌握 P205～P206 公式(16) ~(24)的推导方法
例11. 求
解: 令 3cos x sin x A(cos x sin x) B(cos x sin x)
令 a cos x( AbsinBx)cos x ( A B)sin x 比较同类项A系(c数cos xAAdBsBinx3)1,B故(cAcos1x,Bdsi2n x)
∴
原式
dx
(3x2
1)
1 8
6x
1 16
6
C
1 8
e2
x
(4x3
6x2
2x
7)
C
说明: 此法特别适用于 如下类型的积分:
Pn
(
x)
ekx sin ax
dx
cos ax
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例7. 证明递推公式
证: In tann2 x (sec2 x 1) dx
tann2 x d(tan x) In2
简单无理函数
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2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法, 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 . (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出. 例如 ,
1 k 2 sin2 x dx (0 k 1),
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u v(n1) dx u v(n) uv(n) dx
u v(n) uv(n1) uv(n1) dx
u v(n) uv(n1) uv(n2) uv(n2) dx
u v(n) uv(n1) uv(n2) (1)n1 u(n1)v dx
快速计算表格:
u(k) v(n1k )
例15. 求
解: I
dx
(x a)
(x
b)
n
xa xb
令
( n 为自然数)
则
nt
n1
d
t
ab (x b)2
dx
n ab
dt n 1C t2 bat
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知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
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3. 分部积分法
u vdx u v uv dx
使用原则:
1) 由 v 易求出 v ;
2) uv dx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
计算格式: 列表计算
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多次分部积分的 规 律
1 x2 ) 5]
2 1 x2
x 1 x2
dx 1 x2
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例3. 求
解:
x 2sin x cos x
原式
2 2 cos2 x
2 dx
2
x
d
tan
x 2
tan
x 2
dx
x tan x C 2
分部积分
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例4. 设
求积分
解:
令 x y t, 即 y xt
x 1 x 1
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例9. 设 为 的原函数, 且
求
解: 由题设 F (x) f (x), 则
故
即 又
, 因此
故
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二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
u u
v(n1) v(n)
u
v(n1)
u(n) u(n1)
(1)n (1)n1
v v
特别: 当 u 为 n 次多项式时, u(n1) 0,计算大为简便 .
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例1. 求
解: 原式
2x3x 32 x 22
x
dx
1
( 32 ) (32
xd )2 x
ax dx
a
x
b)d
x
1 sin(a
b)
cos(x b) sin(x b)
d
x
cos(x a) sin(x a)
dx
1 ln sin(x b) ln sin(x a) C
sin(a b)
1 ln sin(x b) C sin(a b) sin(x a)
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cos x dx . a cos x b sin x
a a
cos cos
x x
b b
sin sin
x x
dx
b a
cos cos
x x
a b
sin sin
x x
dx
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例13. 求不定积分 解: 原式
1 (2u)(u2 1)
A 2u
B C