所以 (1 2 n ) 独立同正态分布 。且有
Ζ n

1 n
n
Χ i i 1
， E(Ζn )
1 n
n
E(Χi )
i 1
nμ ，Var(Zn ) Σ 。
n
E(Ζa ) E( raj Χ j ) j 1
(a 1, 2,3,, n 1)

n
(c d )(b a) 36
cov(x1, x2 ) 1
x1 x2
3
（3）解：判断 X1 和 X 2 是否相互独立。 X1 和 X 2 由于 f (x1, x2 ) fx1 (x1) fx2 (x2 ) ，所以不独立。
2.4 设 X ( X1, X 2 , X p ) 服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相
n i 1
Σ

n
Σ n

1 (n n 1
1)Σ

Σ
。
n
方法 2： S
(Xi
-
X)(X i
-
X )
i 1

n
Xi
-
μ

(X

μ)

X i
-
μ

(X

μ)
i 1
n
n

(Xi
-
μ)(
X i
-
μ)

2
(Xi - μ)(X - μ) n(X μ)(Xμ Xμ)

c) c)2
2( x1

a)( x2

c)]
其中 a x1 b ， c x2 d 。求 （1）随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数； （3）判断 X1 和 X 2 是否相互独立。
（1）解：随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
12

2 2

1/
2
exp

1 2
(x

μ)

12 21
12

2 2
1
(x

μ)

。
2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 ) 的联合密度函数为
f
( x1 ,
x2 )

2[(d

c)( x1

a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
2 p
1



2 1


1

Σ1



2 2






1


2 p

则 f (x1,..., xp )

1





2 1






1 p 2


Σ


12
2 2

2 p
1/ 2
exp

1 2
(x

μ)Σ1







2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。选择
Cross-product deviations and covariances 复选框，即计算样本离差阵和样本协差
阵，如图 2.4。单击 Continue 按钮，返回主对话框。
图 2.4 Options 子对话框
3.
单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给
i 1
i 1
n

(
X i
-
μ)(
X i
-
μ)

2n(X

μ)(X

μ)

n(X

μ)(X

μ )
i 1
n

(
X i
-
μ)(
X i
-
μ)

n(X

μ)(X

μ )
i 1
S
E( ) n 1

1 n 1
E

n i 1
(Xi
-
μ)(
X i- μ)Fra bibliotekn(X
μ)(X
n
X jXj nXX j 1
因为
nXX

n

n
1 n
n i 1
Xi

n
1 n
n i 1
Xi

ZnZn
又因为
n
X jXj X1
j1
X2

X
n



X1 X2
Xn

X1
X1
出相关分析表，见表 2.2。表中 Covariance 给出样本协差阵。（另外，Pearson
Correlation 为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products 为样本离
差阵。）
2.6 渐近无偏性、有效性和一致性；
2.7 设总体服从正态分布， X ~ N p (μ, Σ) ，有样本 X1, X2 ,..., Xn 。由于 X 是相互独立的正
X2

Xn

ΓΓ

X2

Xn
Z1
Z1
Z2

Zn


Z2

Zn
n
n
所以原式 X j Xj ZnZn Z j Z j ZnZn
j1
j1

Z Z 11

Z Z 22

...
83722500.00 16710.00
36573750.00 -199875.00
-736800.00
-35.80

-199875.00
16695.10
注：利用
X
p1

1 n
X
1n
,
S

X (In

1 n
1 1 nn
)
X
1
0
其中
In




0
1
在 SPSS 中求样本均值向量的操作步骤如下：
n raj
j 1
1μ n
n
nμ rajrnj 0 i 1
n
Var(Ζa ) Var( raj Χ j ) j 1
n
n
ra2jVar Χ j Σ ra2j Σ
j 1
j 1
所以 Ζ1 Ζ2 Ζn1 独立同 N (0, Σ) 分布。
n
又因为 S (X j X)(X j X) i 1
第二章
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， X ( X1, X 2 , X p ) 的 联合分布密度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 X ( X1, X 2 , X p ) 的子向量的
概率分布，其概率密度函数的维数小于 p。
12
（2）解：随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数；
cov(x1, x2 )

d c
b a

x1

a
2
b


x2

d
2
c

2[(d

c)(
x1

a)
(b a)(x2 (b a)2 (d

c) c)2
2(
x1

a)(
x2

c)] dx1dx2
c) 2(x1 a)(x2 a)2(d c)2

c)]
dx2
2(d c)(x1 a)x2 d dc 2[(b a)t 2(x1 a)t] dt
(b a)2 (d c)2
0
(b a)2 (d c)2
c
2(d c)(x1 a)x2 d [(b a)t 2 2(x1 a)t2 ] dc 1
互独立的随机变量。
解： 因为 X ( X1, X 2 , X p ) 的密度函数为
f
(
x1
,
...,
x
p
)


1 2
p
Σ
1/
2
exp

1
(x

μ)Σ1
(x

μ)

2


12
又由于
Σ



2 2




2 p

Σ


12
2 2

2.8
方法 1：
Σˆ

1 n 1
n i 1
(Xi

X)(Xi

X )

1 n 1
n i 1
Xi Xi

nXX
E(Σˆ )

1 n 1
E(
n i 1
Xi Xi

nXX)

1 n 1

n i 1
E
XiXi

nE
XX