Ax b
s.t.x 0
xi为整数
,
i
1,2,...,
p
整数规划的特点及应用
Page 9
整数规划的典型例子
例1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再 建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有 B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各工厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
整数规划的特点及应用
Page 13
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此
分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
1 对项目j投资
线性整数规划模型
Page 5
一般整数规划模型 0-1整数规划模型 混合整数规划模型
一般整数规划模型 Page 6
mincT x
Ax b
s.t
.
x
0,
x为整数
0-1整数规划模型
Page 7
mincT x
Ax b
s.t. xi
0,1;i
1,2,...,n
混合整数规划模型 Page 8
min cT x
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
x x
21 31
x22 x32
x23 x33
x24 x34
1 1
x41 x42 x43 x44 1
整数规划的特点及应用
每项工作只能安排一人，约束条件为：
变量约束：
x11 x21 x31 x41 1
解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：
1 若建工厂 yi 0 若不建工厂 (i 1,2)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。
则该规划问题的数学模型可以表示为：
整数规划的特点及应用
运筹学课件
Page 1
运
决
筹
胜
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
帷
整数线性规划 千
幄
里
之
之
中
Integer Linear Programming
外
整数规划
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及应用 整数规划算法 分配问题与匈牙利法 计算软件 应用案例
整数规划的特点及应用
Page 3
整数规划（简称：IP）
工作
人员
A
B
C
D
甲
85
92
73
90
乙
95
87
78
95
丙
82
83
79
90
丁
86
90
80
88
整数规划的特点及应用
Page 15
设
1
xij 0
数学模型如下：
分配第i人做j工作时 不分配第i人做j工作时
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
bi
(i 1.2m)
j1
x j 0 (j 1.2n)且部分或全部为整数
整数规划的特点及应用
Page 4
整数线性规划问题的种类：
纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数 线性规划。
混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整
数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构 成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问 题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。
整数线性规划数学模型的一般形式：
n
max Z(或minZ ) c j x j j1
n
aij x j
Page 11
44
min z
cij xij [1200 y1 1500 y2 ]
i 1 j 1
x11 x12
x21 x22
x31 x32
x41 x42
350 400
x13
x23
x33
x43
300
x14 x24 x34 x44 150
s.t
x11 x21
x12 x22
B1
B2
B3
B4
年生产能力
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
2
5
200
年需求量
350
400
300
150
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万
元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用
最少。
整数规划的特点及应用
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实例
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某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积 大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫升， 根据需要列出需带物品清单，其中一些物品是必 带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、 150、250、450、760、190、（单位毫升）。尚 有10件可带可不带物品，如果不带将在目的地 购买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格 （单位美元）。这些物品的容量及价格分别见下 表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个 旅行包里。
x13 x23
x14 x24
400 600
x31
x32
x33
x34
200 y1
x41 x42 y1 y2 1
x43
x44
200 y2
xij
0
(i, j 1, 2, 3, 4)
yi 0,1 (i 1, 2)
混合整数规划问题
整数规划的特点及应用
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例2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j 所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件：
x12 x13
x22 x23
x32 x33
x42 x43
1 1
x14 x24 x34 x44 1
xij 0或1，i、j 1,2,3,4
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背包问题
背景 案例 模型
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背景
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邮递包裹 把形状可变的包裹用尽量少的车辆运走
旅行背包 容量一定的背包里装尽可能的多的物品
x j 0
( j 1,2,...,n) 对项目j不投资
投资问题可以表示为：
n
max z c j x j j1
n
ajxj
B
j1
x2
x1
s
.t
x
3
x4
1
x5 x6 x7 2
x
j
0或者1
（j 1,2,n）
整数规划的特点及应用
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例3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不同 岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成绩 （百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。