上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练数列一、选择、填空题1、（2018上海高考）记等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 2、（2017上海高考）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =3、（2016上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.4、（宝山区2018高三上期末）若n （n 3≥，n N *∈）个不同的点n n n Q a b Q a b Q a b 111222()()()，、，、、，满足：n a a a 12<<<，则称点n Q Q Q 12、、、按横序排列．设四个实数k x x x 123，，， 使得k x x x x 2231322()2-，，成等差数列，且两函数y x y x213==+、图象的所有．．交点P x y 111()，、P x y 222()，、P x y 333()，按横序排列，则实数k 的值为 ．5、（崇明区2018高三上期末（一模））若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且 S n =a ，则a= ．6、（奉贤区2018高三上期末）等差数列{}n a 中，10a ≠，若存在正整数,,,m n p q 满足m n p q+>+时有m n p q a a a a +=+成立，则41a a =（ ）． A ．4 B ．1C ．由等差数列的公差的值决定D ．由等差数列的首项1a 的值决定7、（虹口区2018高三二模）已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则q = _______．8、（黄浦区2018高三二模）已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．9、（静安区2018高三二模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为 10、（普陀区2018高三二模）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.11、（青浦区2018高三二模）在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ．12、（青浦区2018高三上期末）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =13、（松江、闵行区2018高三二模）已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅ .14、（松江区2018高三上期末）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1918a a +=，47a =，则10S = ▲ ．15、（浦东新区2018高三二模）已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34a =，48a =-，则5S =16、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ,12+=n n n a a S （*N ∈n ），若112)1(++-=n n n n a a n b ,则数列}{n b 的前n 项和=n T _______________.二、解答题1、（2018上海高考）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{b n }满足：对任意*n N ∈，都有1||nn b a -≤，则称{}{}n n b a 与“接近”。

(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；2、（2017上海高考）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？3、（2016上海高考）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.4、（宝山区2018高三上期末）设数列{}{}n n a b ，及函数f x ()（x R ∈），n n b f a ()=（n N *∈）． （1）若等比数列{}n a 满足a a 1213==，，f x x ()2=，求数列{}n n b b 1+的前n （n N *∈）项和；（2）已知等差数列{}n a 满足x a a f x q 1224()(1)λ===+，，（q λ、均为常数，q 0>，且q 1≠），n n c n b b b 123()=+++++（n N *∈）．试求实数对q ()λ，，使得{}n c 成等比数列．5、（崇明区2018高三上期末（一模））2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．6、（奉贤区2018高三上期末）若存在常数p ()10≤<p ，使得数列{}n a 满足nn n p a a =-+1对一切*N n ∈恒成立，则称{}n a 为可控数列. 01>=a a （1）若1,2==p a ，问2017a 有多少种可能？ （2）若{}n a 是递增数列，312+=a a ，且对任意的i ，数列()1*,3,2,21≥∈++i N i a a a i i i 成等差数列，判断{}n a 是否为可控数列？说明理由；（3）设单调的可控数列{}n a 的首项01>=a a ，前n 项和为n S ，即n n a a a S +++= 21．问nS 的极限是否存在，若存在，求出a 与p 的关系式；若不存在，请说明理由．7、（虹口区2018高三二模）平面内．．．的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b ，如果01 ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a +++； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =；{}nb 是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．8、（黄浦区2018高三二模）定义：若数列{}n c 和{}n d 满足*10,0,N n n n c d n +>>=∈且c ，则称数列{}n d 是数列{}n c 的“伴随数列”.已知数列{}n b 是数列{}n a 的伴随数列，试解答下列问题： (1)若*(N )nn b a n =∈，1b ={}n a 的通项公式n a ；(2)若*11(N )n n n b b n a +=+∈，11b a 为常数，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列； (3)若*1N )n b n +=∈，数列{}n a 是等比数列，求11a b 、的数值．9、（静安区2018高三二模）已知数列{}n a 中，1a a =1(,)2a R a ∈≠-，1112(1)n n a a n n n -=+++，2n ≥，*n ∈N .又数列{}n b 满足：11n n b a n =++，*n ∈N . （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 和，问：是否存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ；若不存在，请说明理由.10、（普陀区2018高三二模）若数列{}n a 同时满足条件：①存在互异的*,N p q ∈使得p q a a c ==（c为常数）；②当n p ≠且n q ≠时，对任意*N n ∈都有n a c >，则称数列{}n a 为双底数列. （1）判断以下数列{}n a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）； ①6n a n n=+； ②sin 2n n a π=； ③()()35n a n n =--（2）设501012,1502,50n n n n a m n --≤≤⎧=⎨+>⎩，若数列{}n a 是双底数列，求实数m 的值以及数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设()9310nn a kn ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是否存在整数k ，使得数列{}n a 为双底数列？若存在，求出所有的k的值；若不存在，请说明理由.11、（青浦区2018高三二模）给定数列{}n a ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，试判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由； （2）已知数列{}n a 满足122++=+n n n a a a 且212=-a a ，设n S 是该数列{}n a 的前n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++<，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1a md =．12、（金山区2018高三二模）已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=12a n +2． (1) 证明：数列{a n –4}是等比数列； (2) 求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m 、n 的值；(3) 如果常数0 < t < 3，对于任意的正整数k ，都有12k k a ta t+-<-成立，求t 的取值范围．13、（松江、闵行区2018高三二模）无穷数列{}n a *()n ∈N ，若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T .集合{}*,n P pp a n ==∈N .（1）若(1)n n a =-，*n ∈N ，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且1481,3,2,{1,2,3}a a a P ====，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-*()k ∈N ，证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.14、（松江区2018高三上期末） 已知有穷数列{}n a 共有m 项（*,2N m m ∈≥），且n a a n n =-+1（*,11N n m n ∈-≤≤）．（1）若5m =，11=a ，53a =，试写出一个满足条件的数列{}n a ；（2）若64=m ，21=a ，求证：数列{}n a 为递增数列的充要条件是201864=a ； （3）若01=a ，则m a 所有可能的取值共有多少个？请说明理由．15、（杨浦区2018高三上期末）若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤-，112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”. （1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x 、y ；（2）若“U -数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值；（3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记012max{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.16、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知数列}{n a 满足：11=a ，41121+=+nn a a ，*N ∈n ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 的前n 项和为n S ，且满足381622121--+=++n n a S a S n nn n ，试确定1b 的值，使得数列}{n b 为等差数列；（3）将数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧21n a 中的部分项按原来顺序构成新数列}{n c ，且51=c ，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列}{n c ．参考答案：一、选择、填空题1、142、23、44、15、26、B7、1或12-； 8、50 9、94 10、－199011、33 12、4 13、1214、100 15、11 16、1)1(1+-+-n n 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++-为偶数，为奇数n n n n n n ,1,12二、解答题1、【1】由题意11111,22n n a q a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故又11nn b a +=+，故112n n b =+ 则1111111222n n n n n b a ---=+-=-又1102n -＞，故11112n --＜ 即1n n b a -＜，故{}{}n n b a 与接近(2)由题意分析可知{}|,1,2,3,4i Mx x b i ===111102b b -⇒＜＜＜ 221113b b -⇒＜＜＜ 334135b b -⇒＜＜＜ 448179b b -⇒＜＜＜根据范围分析4321b b b b ≠≠或，根据元素互异性43,b M b M ∈∈，又12b b 与可能出现12=b b 情况，也可能出现12b b ≠情况，故根据互异性，M 中元素个数为3个或4个(3){}n a 为等差数列，又n b 与n a 接近，有1n n b a -＜则11n n na b a -++＜＜又11111n n n a b a +++-++＜＜1n n n a b a ---＜＜1-故122n n d b b d +--+＜＜当120,1,2,...,200,k k db b k +=--≤=时,即2132201200,,...,b b b b b b ---中没有正数；当d＞-2时，存在12201,,...b b b 使得2132430,0,0,b b b b b b ---＞＜＞542001992012000,...,0,0b b b b b b ---＜＞＜，即有100个正数，故d ＞-2。