授课时间2009年3月27日1，2节
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题目
第12讲：竖曲线
目的与要求：
1. 了解竖曲线的作用、线形；
2．掌握竖曲线计算方法；
3. 掌握竖曲线最小半径计算方法。
重点：1．竖曲线计算方法；
2. 竖曲线最小半径计算方法。
难点：1．竖曲线最小半径计算方法
授课内容摘要：
第4章纵断面设计
4.3 竖曲线
竖曲线的作用及线形；竖曲线要素的计算公式；竖曲线的最小长度和最小半径；逐桩设计高程计算。
参考文献：1．《公路工程技术标准》JTG B01-2003
2．《公路路线设计规范》JTG D20-2006
3．《道路勘测设计》. 张雨化主编，人民交通出版社出版
教具课件PPT课件
习题
作业
作业：习题4-2,4-3
课后小结：
No. 12
4.3 竖曲线
第12讲：2学时
4.3.1 竖曲线的作用及线形
定义：纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车所设置的一段曲线。
变坡点：相邻两条坡度线的交点。
变坡角：相邻两条坡度线的坡角差，通常用坡度值之差代替，用ω表示，即
ω=α2-α1≈tgα2- tgα1=i2-i1
竖曲线的作用：
（1）其缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点的突变。
（2）保证公路纵向的行车视距：
凸形：纵坡变化大时，盲区较大。
凹形：下穿式立体交叉的下线。
（3）将竖曲线与平曲线恰当组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导和舒
适感。
竖曲线线形：圆曲线
二次抛物线
《规范》规定采用二次抛物线。
要求：抛物线纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。
一般情况下，竖曲线在
变坡点两侧是不对称的，但两切线长保持相等。
由于在纵断面上只计水平距离和竖直高度，斜线不计角度而计坡度。
因此，竖
曲线的切线长与曲线长是其在水平面上的投影，切线支距是竖直的高程差，相邻两
坡度线的交角用坡度差表示。
4.3.2 竖曲线要素的计算公式
取xoy 坐标系如图，设变坡点相邻两纵坡坡度分别为i 1和i 2。
二次抛物线一般方程（包含抛物线顶、底部）为
2
21x R
y =
（ 式中：R ——抛物线顶点处的曲率半径。
对竖曲线上任一点P ，其斜率（即通过该点的切线的坡度）为 R
x
dx dy i P ==
（ 1．竖曲线长度L ：
由于在纵断面设计中长度是指两点间的水平距离，因此竖曲线的长度及切线长均为其在水平面上的投影。
故ωR i i R Ri Ri x x AB L B A =-=-=-==)(2121，即
ωR L = （
2．竖曲线切线长T ： 因为T = T 1 = T 2，则
2
2ωR L T ==
（
3．竖曲线上任一点竖距h ：（如图
因为)(212
x i y R
x y y PQ h A P Q P --=-==，且2
21A A x R y =，化简得 R
x R x x h A P 22)(22=
-= （
同理，可对于下半支曲线的竖距h 为：
R
x L h P 2)(2
-=
（ 若设计算点与离开竖曲线终点的距离为x ’，x ’= L - x P ，则R
x h 2'2
=。
图4.3.1 竖曲线要素计算图
4．竖曲线外距E ：
上半支曲线x = T 1时，R T E 22
11=
下半支曲线x = T 2时，R
T E 22
22=
由于外距是边坡点处的竖距，则E 1 = E 2 = E ， 故 R
T R T 222
221=
，即T 1 = T 2 = T 4
88222ω
ωωT L R E R
T E =
===
或
（ R
x y 22
= （
4.3.3 竖曲线的最小长度和最小半径 1．凸型竖曲线最小半径和最小长度
凸型竖曲线最小长度应以满足视距要求为主，按竖曲线长度 L 和视距 S 的关
系分为两种情况。
（1）当 L ﹥S 如图 4-3a ） 所示
R d h 2211=、R
d h 22
2
2= ，得112Rh d =，222Rh d =，则 2
212min )
(2h h S L +=ω
（
ω
min
min L R =
（
当采用停车视距时，,2)(,1.0,2.122121≈+==h h m h m h 即
42min ωT S L = ， 4
2
min T
S R = （
当采用会车视距时，m h h 2.121==，则
6.92min ωC S L =， 6
.92min C
S R = （ 式中：R ——竖曲线半径，m ；
h 1 ——司机视线高，即目高 h l =1.2m ； h 2 ——障碍物高，即物高 h 2=0.1m ； 其它符号意义同前。
（2） L ﹤S 如图4-3b ）所示，将竖曲线延长到21,h h 的垂直方向上，
,222
1211R t R d h -= 则 2
1
112t Rh d += R
t R d h 2222222-
=， 则2
2222t Rh d += 从图中知 l t Rh l d t -+=-=2
11112
解之得 2
11l
l Rh t -=
（ 同样从图中知 )(2)(2
2222l L t Rh l L d t ---=--=
解之得 2
22l
L l L Rh t --
-= （ 而 21t L t S ++=，
代入得 l L Rh L l Rh S -+
+=
2
12 （ 取 0=dl ds ，即 0)
(2221=-+-=l L Rh l Rh dl ds
解之得 L h h h l 2
11+=
（
代入上式并整理得 2)(221L h h L R S ++= =2
)(1221L
h h ++ω
221min )(2
2h h S L +-
=ω
（
ω
min
min L R =
（
当采用停车视距时， ω
4
2min -
=T S L （ )4
2(1
min ω
ω
-=
T S R （
当采用超车视距时， ω
6
.92min -
=C S L （
)6
.92(1
min ω
ω
-
=
C S R （
表 4.3.1 凸型竖曲线最小半径和最小长度
2．凹型竖曲线最小半径和最小长度
设置凹竖曲线的主要目的是缓和行车时的离心力，确定凹竖曲线半径时，应以离心加速度为控制指标 。
（
根据试验，认为离心加速度应限制在0.5～0.7m/s2比较合适。
但考虑到不因冲击而造成的不舒适感，以及视觉平顺等的要求，我国《标准》规定采用a=0.278 m/s 2。
凹形竖曲线的最小半径、长度，除满足缓和离心力要求外，还应考虑两种视距的要求：一是保证夜间行车安全，前灯照明应有足够的距离；二是保证跨线桥下行车有足够的视距。
3．按汽车行驶时间的要求确定竖曲线最小长度 《标准》规定竖曲线的最小长度应满足3s 行程要求 。
2
.16.3min V t V L ==
（ 表 4.3.2 凹型竖曲线最小半径
《标准》规定的一般最小半径约为极限最小半径的 1.5～2.0 倍。
竖曲线最小长同凸型竖曲线。