i =1
3、n < m 的情况⎯ h (t )中不仅含有 δ (t )项， 而且还含有δ ′(t )项、δ ′′(t )项等，这主要取决
于n 比m小几。
h(t)的系数Ci 、ki 和 B 可以通过方程两 边平衡的原则加以确定。
二、阶跃响应 根据线性时不变系统的性质求
即 h(t) 与 rε (t) 之间满足微积分的关系，因 此阶跃响应可以通过对冲激响应积分求解 得到。
⎪ ⎩
0
,
k其他
k = −1 k =0 k =1 k =2 k其他
1.3 信号的基本运算
二、信号的时间变换运算
三种运算的次序可任意。
已知f (t)，画出 f (– 4 – 2t)。 但注意始终对时间 t 进行！
f(t)
f (t -4)
1 右移4，得f (t – 4)
1
-2 o
2
f (-2t -4) 1
上面的两个积分式叫做卷积积分，通常表示为：
r (t) = e(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ e(t)
§2.8 卷积及其性质
§2.2 系统数学模型的建立
1) 构成电路各个元件上的电压和电流的关系。由于 所讨论的电路系统最终可以等效为由理想元件电阻、 电容、电感所构成，因此应掌握这些元件电压与电流 的关系：
R:
uR = R⋅iR
L:
uL
=
L
⋅
diL dt
1t
C:
∫ uC = C −∞ iC (τ )dτ
2) 基尔霍夫电压和电流定律。
1. 确定信号和随机信号
确定信号：
可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或 规则信号。如正弦信号。
随机信号：
若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取 值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某 时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确 定信号。
研究确定信号是研究随机信号的基础。 本课程只讨论确定信号。
3．时不变性（非时变性） 若 e(t) → r(t) 则 e(t − t0 ) → r(t − t0 )
综合1、2、3性质有:
若 e1(t) → r1(t), e2 (t) → r2 (t) 则 k1e1 (t − t0 ) + k 2 e2 (t − t0 ) → k1r1 (t − t0 ) + k 2 r2 (t − t0 ) * 线性时不变系统的判决（重要）
d n h(t) dt n
+ a n−1
d n−1h(t) dt n−1
+ L + a1
dh (t ) dt
+ a0 h(t)
=
bm
d mδ (t) dt m
+ bm −1
d m−1δ (t ) dt m −1
+ L + b1
dδ (t) dt
+ b0δ (t)
*冲激响应的模式
1、n > m 的情况⎯ h (t )中不含冲激项
t
反转，得f (– 2t – 4)
o
2 4 6t
压缩，得f (2t – 4)
f (2t -4)
1
-3 -1 o t
o 123 t
1.4 系统的分类方法
1. 连续系统与离散系统 2. 动态系统与即时系统 3. 线性系统与非线性系统 4. 时不变系统与时变系统 5. 因果系统与非因果系统 6. 稳定系统与不稳定系统
解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期 之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号， 其周期为T1和T2的最小公倍数。
（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs
cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s
∑ ⎧
⎪
n
C ie λit
h (t )
=
⎪ ⎨
i =1
⎪ ⎪⎩
0
t>0 n
∑ =
C ie λit ⋅ ε (t )
i =1
t<0
2、n = m情况⎯ h (t ) 中含有冲激项
n
∑ k ieλ it
t>0
h(t) =
i =1
Bδ (t)
t=0
0
t<0
n
∑ = k i eλ it ⋅ε (t ) + Bδ (t )
+
a n −1
d
n−1r (t ) dt n−1
+
L
+
a 1
dr (t ) dt
+
a r(t) 0
=
bm
d m e(t) dt m + b m −1
d m −1e(t ) dt m −1
+
L
+
b1
de (t ) dt + b0 e(t )
§2.3 系统的零输入响应
零输入响应——— 外加激励信号为0，仅仅由系 统的初始条件(状态)所产生的 响应，记为 rzi (t) 。
Sa(t)是偶函数，t = ±π , ± 2π ,K 时，函数值为0。
Sa(t ) 具有以下性质：
∫0∞ Sa (t ) dt
=
π 2
∫−+∞∞ Sa ( t ) dt = π
1.3 信号的基本运算
一、信号的＋、－、×运算
两信号f1(·) 和f2 (·)的相+、－、×指同一时刻两 信号之值对应相加减乘 。如
1.2 信号的分类及性质
4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2， 在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为：
∫ （1）信号的能量E
def
E=
∞ f (t) 2 d t
−∞
（2）信号的功率P
∫ def
1
P = lim
T→∞ T
T
2 T
f (t) 2 d t
第一章 信号与系统
1.1 绪论 1. 信号的表示
电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。
描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数
2. 系统的表示
（2）图形表示--波形
• 系统可以用下面的方框图来表示
e(t)
r(t)
e(t)是输入信号，称为激励; r(t)是输出信号，称为响应。
1.2 信号的分类及性质
1.5 LTI系统的性质
1. 齐次性（homogeneity，均匀性、比例性scaling） 若 e(t) → r(t) 则 ke(t) → kr(t)
2．叠加性（可加性additivity） 若 e1(t) → r1(t), e2 (t) → r2 (t) 则 e1(t) + e2 (t) → r1(t) + r2 (t)
零输入响应的求解需要以下几步：
(1) 建立系统的数学模型； (2) 列特征方程，求特征根； (3) 确定零输入响应的模式； (4) 用初始条件确定待定系数。
需要注意的就是初始条件（起始状态(0-)、初始状 态(0+)）的使用。
一、特征根为单根的情况
设 p n + an−1 p n−1 + L + a1 p + a0 = 0 的根为
由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号。 其周期为T1和T2的最小公倍数2π。
（2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s， 由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
1.2 信号的分类及性质
例2 判断正弦序列f(k) = sin(βk)是否为周期信号， 若是，确定其周期。
其中 C0 ,K, Ck−1, Ck+1,K, Cn 也是由系统的初始条件 确定的待定系数。
§2.6 阶跃响应和冲激响应
单位冲激响应⎯ 以单位冲激信号作为激励信号时， 系统的零状态响应,记为 h(t)。
单位阶跃响应⎯ 以单位阶跃信号作为激励信号时, 系统的零状态响应，记为 rε (t)。
一、冲激响应
λ1 , λ2 ,L, λn ,且彼此不等，即 λ1 ≠ λ 2 ≠ L ≠ λ n ( p − λ 1 )( p − λ 2 ) L ( p − λ n ) = 0
则零输入响应的形式为 rzi (t ) = C 1 e λ1t + C 2 e λ 2t + L + C n e λ nt
其中 C1 , C 2 ,K , C n 是由初始条件确定的待定系数。
解 f (k) = sin(βk) = sin(βk + 2mπ) ， m = 0,±1,±2,…
=
sin ⎢⎣⎡β⎜⎝⎛
k
+
m
2π⎞⎤ β ⎟⎠⎥⎦
=
sin[β(k
+
mN)]
由上式可见：
• 仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 • 当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周 期为N= m(2π/ β)，m取使N为整数的最小整数。 • 当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
∞
∫ 即
r (t)
=
lim
∆t→ 0
rb
(t )
=
e (τ ) ⋅ h (t − τ ) d τ
−∞
当系统是因果系统，激励信号是从0开始有 值的有始信号时，上面的结果变为
t
∫ r (t ) = e(τ ) ⋅ h (t − τ )dτ 0− t