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线性多变量系统线性系统理论完整


x(t)
x2
(t)
x
n
(t
)
状态空间 状态空间定义为状态向量(取值)的一个集合,状态空间的维数等同 于状态的维数
几点解释 (1)状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1(t0 ), x2 t0 , , xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t),u2 t , , u p (t)
代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的 映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的 形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题
多变量频域方法
一是频域方法
二是多项式矩阵方法
1/2,4/5
1.3 本书的论述范围
1:状态空间法 2:多项式矩阵法
2/2,5/5
第一部分: 线性系统时间域理论
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不
能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt
0 e
e(t)
L
iL Uc R2 U R2
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
)C
e
L(R1 R2 )
L(R1 R2 )
U (s)
s n an1s n1 a1s a0
可以导出其状态空间描述为
x Ax bu y cx du
x Rn A Rnn
b Rn1
c R1n
d R11
1/18,14/50
结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
u2
x1, x2 , , xn
y2
up
例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
yq
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u(1) b0u
复频率域描述即传递函数描述
g(s) y(s) bn1s n1 b1s b0 u(s) s n an1s n1 a1s a0
那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性
状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n
线性多变量系统
选用教材: 郑大钟 线性系统理论 清华大学出版社 教学参考书:陈启宗著 线性系统理论与设计 科学出版社
何关钰著 线性控制系统理论 辽宁人民出版社
线性系统的时间域理论
线性系统的复频率域理论
第一章 绪 论 第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性
X
AX
Bu
Y CX Du
线性时变系统
X A(t) X B(t)u
Y C(t) X D(t)u
3/7,7/50
连续时间线性系统的方块图
D(t)
X
X
U
B(t)
C(t)
Y
A(t)
4/7,8/50
人口分布问题状态空间描述的列写示例
假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡 村, 2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%
线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综 合线性系统的运动和特性的一种理论和方法
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的数学描述
u1
yq
u2
x1, x2 , , xn
y2
up
yq
1/4,1/50
(1).系统的外部描述
u1
yq
外部描述常被称作为输出—输入描述
3/3,3/5
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的 学科
主要内容:数学模型→ 分析理论→ 综合理论
发展过程:经典线性系统理论,现代线性系统理论
主要学派:
状态空间法
几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合
设k为离散时间变量, x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年 所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口 迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全 国人口数
x1(k 1) 1.01 (1 0.04)x1(k) 1.01 0.02x2 (k) 1.01 5104u(k) x2 (k 1) 1.01 (1 0.02)x2 (k) 1.01 0.04x1(k) 1.01 5104u(k)
该系统称为时不变系统
若向量f,g显含时间变量t,即
f
g
f (x, u, t) g(x, u, t)
该系统称为时变系统
连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统
当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.
设系统的状态空间描述为 x f (x, u, t) y g(x, u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,
u,
t
)
f
2
(
x,
u,
t
),g
(
x,
u,
t
)
g2
(
x,
u,
t
)
f
n
(
x,
u,
t
)
g
q
(
x,
u,
t
)
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个 组成元为x、u的非线性函数,该系统 称为非线性系统
2/4,2/50
状态和状态空间的定义
u1
yq
状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 u2
x1, x2, , xn
y2
能完全表征其时间域行为的一个最小 内部变量组up Nhomakorabeayq
状态 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1(t), x2 t, , xn (t)
(向量) 所组成的一个列向量
x1 (t)
由输入输出描述导出状态空间描述
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
其传递函数描述
g(s) Y (s) bm s m bm1s m1 b1s1 b0
从特性的角度
线性系统 非线性系统
集中参数系统 : 属有穷维系统 分布参数系统 : 属于无穷维系统
2/3,2/5
线性系统理论的研究对象为线性系统,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理.
若表征系统的数学描述为L L(c1u1 c2u2 ) c1L(u1 ) c2 L(u2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用 ②模型类型的多样性 ③数学模型的基本性 ④建立数学模型的途径 ⑤系统建模的准则
6/7,10/50
状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性 三是:变量取值时间的离散属性
离散时间线性系统的方块图
D(k)
x(k 1)
x(k)
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
写成矩阵形式
x1
x2
(k (k
1) 1)
0.9696 0.0404
0.0202 0.9898
x1 x2
(k) (k )
5.0510
5.05 104
4
u
(k
)
y(k) 1
1
x1 x2
(k) (k )
亦可表为 x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
确定性系统和不确定性系统
称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入 和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的. 称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性, 或者作用于系统的输入和扰动是随机变量
2/2,13/50
2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述
J
ia
1
La 0
e
0
1ia
上式可表为形如 X AX Bu Y CX Du
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