圆的基本性质复习课
教学活动
一、圆的基本性质复习：
例1、 （1）如图，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且OD//AC 。

求证：CD=BD
师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。

每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。

（学生分组交流，一会后学生汇报成果。

）
组一：连接OC ，OD AC // C O D
A C O
B O D A ∠=∠∠=∠∴, O
C OA = ∴ACO A ∠=∠DOB CO
D ∠=∠∴ BD CD =∴
师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。

还有其他证明方法吗？
组二：连接AD ，OD AC // ，
OA=OD ∠=∠∴CAD OAD ODA ∠= ∴弧CD=弧BD ∴CD=BD
师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等。

这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的
弧相等。

这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑去证
弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。

（边总结，边在黑板上抽离基本图形）
师：还有其他方法吗？
组三：连接BC ， AB 是直径 090=∠∴ACB
AC//OD OD BC ⊥∴
由垂径定理可以得到弧CD=弧BD ∴CD=BD
师：这就利用了垂径定理的基本图形。

（同时在黑板上画
出这个基本图形）
垂径定理及逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的
关系：直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立。

但要注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立。

垂径定理及逆定理体现的是圆的
轴对称性。

而在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角；
而0
90的圆周角所对的弦是直径。

（同时在黑板上抽离这个基本图
形。

）连直径，作直角是圆中常添的辅助线方法。

在圆中构造直角，还常作弦心距，弦心距、弦的一半、半径构成一个直角三角形，这在计算题中用得较多。

师：还有其他方法吗？
组四：延长DO 交⊙O 于点E ，连接AE 。

OD AC // ∴弧AE=弧CD ∴AE=CD
B O D
A O E ∠=∠ BD AE =∴ ∴CD=BD 师：这也是圆中的一种基本图形，由弦平行，可以得到所夹弧相等。

这个结论我们书上证明过，可以证一对内错角又是圆周角相等得到。

若不添加任何辅助线，你能证明出来吗？（提示：已知的相等两角A ∠、BOD ∠的度数分别与弧的度数有什么关系？）
组五：A ∠ m =2
1弧BC m BOD =∠弧BD ∴21弧BC=弧BD=弧CD ∴CD=BD 师：圆周角度数等于所对弧度数的一半，
圆心角度数等于所对弧的度数。

同学们真是太了不起了，一道题目想
出这么多种证法，同学们的思路很开阔。

在圆中还有一对基本量，我们刚才提到过，
是什么？——弦心距。

弦心距于圆心角、
弧、弦之间也有一定的联系。

在同圆或等
圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两
条弦心距中有一对量相等，其余各对量都
相等。

（同时抽离出基本图形）而圆周角又
与圆心角、弧之间有这样的关系，这使得
弦心距与圆周角之间也有一定联系。

这五
种量的关系体现了圆的旋转不变性。

圆的
轴对称性和旋转不变性构成了圆的基本性
质。

这四个基本图形集中体现了圆的基本性质。

同学们在平时的学习中要注意积累一些基本图形，它有时是解题的关键。

（这个例题分析完后，黑板上出现这些量之间的关系图。

）
（2）：延长AC 、BD 交于点E ，连接BC ，请判断：下
面结论中正确的是______________。

①AB=AE ②BD=DE ③∠E=2∠EBC
④ ⑤△ECD ∽△EBA
（3）过点D 做DG ⊥AE ，垂足为G ，则四
边形DGCF 为什么四边形？为什么？
（4）移动点D 位置，使点D 在弧AB 中点处，令点C 在弧AD 之间，过D 做DF ⊥BC ，DG ⊥AE ，垂足为E 、F ，则四边形DGCF 是什么四边形？
为什么？
师：首先这个四边形已经是一个什么四边形？——矩形。

那再证一个什么条件，矩形就能成为正方形了？
由弧AD=弧BD ，你能得到哪些结论？由弧你想到了什么？
生1：连接OD ， D 是弧AB 中点 ∴090=∠BOD
0452
1=∠=∠∴BOD BCD ∴DF=CF ∴矩形CFDG 是正方形
生2：连接AD,BD 弧AD=弧BD ∴AD=BD
90,=∠=∠∠=∠DFB AGD FBD GAD
D B F
D A G ∆≅∆∴ DF DG =∴ ∴矩形CFDG 是正方形
师：在圆中，我们不要忽视弧的作用，它是弦与角转化的桥梁。

一、小结：
师：通过本节课的学习，你对圆的基本性质又有哪些认识呢？你还有什么收获？
通过本节课的复习，我们又重新梳理了圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距五种量之间的关系，以及直径与弧、弦之间的关系定理——垂径定理及逆定理。

从这些关系中我们发现，证明圆中一对量相等的道路是四通八达的，可以
考虑证明圆中的其它几对量相等。

圆的这些性质是我们计算角、线
段及证明角、线段、弧相等的基本依据和方法。

二、圆的基本性质的妙用：
师：复习了圆的基本性质后，老师出了道思考题：
例：圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2，如图：
AB=BC=CD=DE=1,EF=FG=GH=HA=2,求此八边形的面积。

师：九（3）班有几位爱探究的同学课后在一起讨论解决此题。

小慧觉得很困惑：“这个八边形又不是特殊的八边形，这能求出
它的面积吗？怎么求哦？“
同学们是否也有这样的困惑呢？
小聪有想法了：“但八边形是放在圆中，我们能不能利用圆的性质，把八边形的八条边重新排列一下，让它变成比较特殊的八边形呢？”
小聪的想法可行吗？对同学们可有帮助？你们有思路了吗？
生：把长边和短边间隔排列。

师：这样排列后，形状改变了，难道面积不变吗？为什么？
生：利用圆的旋转不变性。

师：现在如何来求这个八边形的面积呢？
145。

生：向外补成一个正方形，因为这个八边形的一个内角是0师：多边形的问题就可以转化为四边形和三角形的问题来解决。

这道题的解决完美体现了圆的旋转不变性的妙用。