第7章 涡度、散度与垂直速度涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中经常使用的三个物理量。

在天气学教科书(例如：朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。

本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。

§7.1 涡度的表达式涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为s 1。

根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。

从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。

更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：w v uz yx k j i∂∂∂∂∂∂=Λ∇ 3V k yu x v j y w z u i z v y w )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂= k j i ζηξ++= (7.1.1)其中)(3k w j v i u ++=V 是三维风矢。

虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度ζ。

ζ的表达式为：yu x v ∂∂-∂∂=ζ (7.1.2) 需要注意的是，在日常分析预报中说的涡度ζ，其全称应是垂直相对涡度。

将式(7.1.2)变微分为差分，得：yu x v ∆∆-∆∆= ζ (7.1.3)§7.1.2 相对涡度ζ的计算方法犹如风矢有实测风与地转风一样，相对涡度ζ有实测风涡度o ζ与地转风涡度g ζ两种。

下面分别介绍它们的计算方法。

1. 实测风涡度o ζ计算方法用实测风计算涡度时要按照式(7.1.3)所列各项分别进行。

首先把实测风分解为u 、v 分量，然后分别读取图7.1.1所示的A 、C 点的u 值和B 、D 点的v 值，最后代入式(7.1.3)即得O 点的涡度：y u u x v v C A B D o ∆--∆-=ζ (7.1.4)图7.1.1 计算物理量用的正方形网格(朱乾根等，2000)2. 地转风涡度g ζ计算方法假若实测风与地转风相差很小，那么，便可用地转风代替实测风，并可根据地转风公式直接从高度场(或气压场)求算相对涡度。

用地转风计算得到的相对涡度称地转风涡度，也有人也简称地转涡度。

地转风涡度g ζ的几何意义是代表等压面凹凸的程度。

把等压面上的地转风公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂-=x H f v y H f u g g 8.98.9 (7.1.5)代入式(7.1.2)中，略去地转参数f )sin 2(ϕΩ=的空间变化后，即可得到地转风涡度g ζ的表达式：H fy H x H f g 222228.9)(8.9∇=∂∂+∂∂=ζ (7.1.6) 上式中H 为位势高度，H 2∇为高度场的拉普拉斯。

在实际业务中可用图7.1.1所示网格进行计算，并把上式改写为差分形式：)4(8.98.922O D C B A C O O A B O O D g H H H H H d m f m d m d H H m d H H m d m d H H m d H H f -+++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+---=ζ (7.1.7) 式中m 为地图投影放大系数。

由上式可见，读取网格上A 、B 、C 、D 、O 五点的高度值，代入式(7.1.7)，便得O 点的地转风涡度g ζ。

§7.2 散度的计算(引自：朱乾根等《天气学原理与方法》(第3版)pp618～620)。

1. 定义及表达式散度是衡量速度场辐散、辐合强度的物理量，单位为1/s ，辐散时为正，辐合时为负。

水平散度的表达式为：yv x u D ∂∂+∂∂= (7.2.1) 水平散度D 的大小是从同一水平面(或等压面，请读者牢牢记住这个条件)上的实测风场计算求得的。

2. 计算方法把式(7.2.1)写成差分形式：yv x u D ∆∆+∆∆= (7.2.2) 若用图7.1.1所示网格计算水平散度，变微分为差分，则上式就改写为：m d v v m d u u D C A B D 22-+-=)(2C A B D v v u u dm -+-= (7.2.3) 式中d 为在天气图上所取网格点的距离。

这样把图7.1.1中B 、D 点的u 值和A 、C 点的v 值代入式(7.2.3)，便得O 点的散度。

3. 注意事项当气象测站不在同一个海拔高度上时，地面图上散度的计算方法，我们将在后面介绍。

关于对上面计算散度值的修正方法，将在§7.3介绍。

§7.3 垂直速度ω的诊断(引自：朱乾根等《天气学原理与方法》(第3版)pp620～635)。

大气垂直运动是天气分析和预报中必须经常考虑的一个重要物理量。

需要提请读者注意的是，这里说的垂直速度(或运动)，仅仅指大尺度的。

垂直速度不是直接观测到的物理量，它是通过间接计算而得到的。

垂直速度的计算方法很多，下面只介绍O’Brie(1970)提出的运动学法(积分连续方程法)。

1. 计算原理在),,(p y x 坐标系中，连续方程可写为：0=∂∂+∂∂+∂∂py v x u ω (7.3.1) 或)(y v x u p ∂∂+∂∂-=∂∂ω (7.3.2) 将上式两端对p 积分得：⎰∂∂+∂∂-=-p p p p dp yv x u 00)(ωω ))((0p p yv x u -∂∂+∂∂= (7.3.3) 令)(yv x u D ∂∂+∂∂=为0p 和p 两层等压面之间的平均散度，则式(7.3.3)可改写成：)(00p p D p -+=ωω (7.3.4)式中p ω和0ω分别为p 和0p 高度处的垂直速度。

单位为s hPa ；正值为下沉运动，负值则为上升运动。

若平均散度D 在0p 和p 两层之间的变化是线性的，即： )(210D D D +=，那么，在求得各层散度之后，根据式(7.3.4)便可自下而上一层一层地算出各层的垂直速度来。

2. 下边界条件假定：(a)地面海拔高度很低，且是平坦的(读者要特别注意这个假定)，(b)hPa p 10000=处，0=ω，则各主要等压面上的垂直速度ω可分别用式(7.3.4)推算出来。

3. 必须对ω和D 进行修正的原因原则上，可以用这种方法计算出任意层次的ω。

但在实际上，用这种方法来计算高层的ω常常很不准确。

原因是：(a)风在高层观测的精确度较低；(b)误差随高度有积累。

上述原因的详细解释是，在作散度计算时，既有风的观测、分析方面的误差，又有计算中带来的误差，这些误差都随高度升高而有积累，从而导致ω的计算值的精确度随高度升高而不断下降。

结果到了气柱的顶部，ω的值往往不能满足0=上界ω的边界条件，这就违背了“补偿原理”。

因此必须对上述运动学方法或“补偿作用”进行修正。

4. 对D 和ω的修正根据实际资料的分析,D 的修正量可以假定为气压的线性函数。

即(证明略)： p M k D D T N k k ∆--=/)('ωω (7.3.5) 式中∑+==N M N N k M 1),1(21是一个只与总层数N 有关的常数。

对D 作了上述修正后，ω也应作相应的修正(证明略)。

)(2)1('T N k k Mk k ωωωω-+-= (7.3.6) 其中，N k ,,2,1 =，是层次序号。

N 为需要计算的总层数，N ω是未经修正的最高层垂直速度(一般即100hPa 处的9ω)，N ω是经过修正后的最高层垂直速度。

式(7.3.6)中的N ω是借用其它方法(例如绝热法等方法)求出的。

实例分析表明，N ω一般都在3～s hPa 3105-⨯，最大可达20～s hPa 31030-⨯。

而由绝热法或其他方法求出的100hPa 上ω的数值一般很小(大约为0～s hPa 3105.0-⨯)，因此T ω较之N ω是很小的。

这样，在精度允许的情况下，为了计算的方便，可取T ω0≈。

这样，式(7.3.5)与(7.3.6)便可简化成下列形式：p M k D D N k k ∆-=ω ' (7.3.7) N k k Mk k ωωω⋅+-=2)1(' (7.3.8) 5. w 与ω的换算关系在很多情况下，人们需将上面计算出的)(dt dp =ω换算成)(dt dz w =。

例如，在计算z -螺旋度ζw h z =时以及绘制垂直剖面图上的环流时就遇到上述情况。

垂直速度在),,,(t p y x 坐标系里为)(dt dp =ω，在),,,(t z y x 坐标系里为)(dt dz w =，两者有以下的关系：zp w p t p dt dp ∂∂+∇⋅+∂∂==V ω (7.3.9) 通常，式(7.3.9)的右边前两项之和很小，因此近似有： zp w dt dp ∂∂==~ω (7.3.10) 代入静力学关系，则得： gw dt dp ρω-==~ (7.3.11) 再代入状态方程，则得：gw T R p dt dp vd -==~ω (7.3.12) 式(7.3.12)即为ω与w 的换算关系式。

ω的单位多取s a hP ，w 的单位多取s cm 。

§7.4 地转偏差与散度、垂直速度的关系1. 定义地转风虽然可以作为实际风的近似，但一般情况下实际风和地转风总是有差别的。

为了量度实际风偏离地转风的程度，人们将实际风与地转风的矢量差定义为地转偏差。

令地转偏差用'V 表示，则有：g V V V -=' (7.4.1) 或 g gv v v u u u -=-='' (7.4.2)2. 计算方法考虑到有关教科书中地转风的定义式后，可将式(7.4.2)改写为：)1()1(''x f v v y f u u ∂∂-=∂∂--=φφ (7.4.3) 将公式(7.4.3)变为差分形式，得：)1()1(''x f v v y f u u ∆∆-=∆∆--=φφ (7.4.4) 根据式(7.4.4)，可以计算出地转偏差矢量的两个分量'u 与'v ，进而得到地转偏差矢量：j v i u '''+=V (7.4.5) 3. 地转偏差与水平散度、垂直速度的关系将式(7.4.2)代入水平散度公式，得：)()(''v v yu u x y v x u D g g +∂∂++∂∂=∂∂+∂∂= yv x u y v x u g g ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂='' (7.4.6) 若取f 为常数，则有：0)(1)(1=∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∂∂+∂∂xy f y x f y v x u ggφφ (7.4.7)将式(7.4.7)代入(7.4.6)，得：y v x u y v x u D ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂='(7.4.8) 式(7.4.8)表明，实际风的水平散度是由地转偏差决定的。