梯度
散度
散度（divergence）的概念：
在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F
由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F =▽·F
气象学：
散度指流体运动时单位体积的改
变率。

简单地说，流体在运动中集中的
区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐
合，此时有利于天气系统的的发展和增
强，为正时表示辐散，有利于天气系统
的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散
度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。

上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

散度（divergence ）的运算法则：
div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)
div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)
旋度
设有向量场
A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
在坐标轴上的投影分别为
δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy
的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即
rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k
式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

行列式记号
旋度rot A 的表达式可以用行列式记号形式表示：
若 A=Ax·i+Ay·j ，
则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j
若A=Ax·i+Ay·j+Az·k 则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k
为一向量。

向量场A，数量场u
▽称为汉密尔顿算子，算法不表示了，符号打不出来。

▽·▽=▽2=△，△称为拉普拉斯算子。

梯度▽u
散度▽·A
旋度▽×A
首先梯度和旋度是向量场，而散度是标量。

梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。

梯度为0说明该势场是个等势场。

散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。

散度为0说明这个场没有源头。

旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。

旋度为0说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。

三者的关系：注意各自针对的对象不同。

1.梯度的旋度▽×▽u=0
梯度场的旋度为0，故梯度场是保守场。

例如重力场。

2.梯度的散度▽2u=△u
3.散度的梯度▽(▽·A)
4.旋度的散度▽·(▽×A)=0
旋度场的散度为0，故旋度场是无源场。

例如磁场，磁场本身是其他场的旋度场。

5.旋度的旋度▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A=▽(▽·A)-△A
旋度场的旋度
也要说明一下，匀强场是保守场，因此绝对的匀强磁场是不可能的，磁场本身也是有旋场。

1.已知原向量场可以直接推出其散度、旋度。

反之则不行，还需要其他条件。

2.已知某向量场，求原数量场（势场）。

某向量场具有势场的充要条件是旋度为0。

因此若该向量场的旋度为0，可由斯托克斯公式求出。

若旋度不为0，则没有势场。