专题三：中考动态几何问题（第1课时）
课程解读
一、学习目标：
了解几何动态问题的特点，学会分析变量与其他量之间的内在联系，探索图形运动的特点和规律，掌握动态问题的解题方法．
二、考点分析：
近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选内容，有点动、线动、图形运动等类型，呈现方式丰富多彩，强化各种知识的综合与联系，有较强的区分度，且所占分值较高，具有一定的挑战性．
知识梳理
几何动态问题是指：在图形中，当某一个元素，如点、线或图形等运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题．它是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景，通过观察、分析、归纳、推理，动中窥定，变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和方法，明确图形之间的内在联系．几何动态问题关心“不变量”，所体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化的方法．当求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时，常建立方程模型求解．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法．
典型例题
知识点一：动点问题
例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＝90°，AB＝28cm，DC＝24cm，AD＝4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点
N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形ANMD的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是（）
思路分析：
1）题意分析：本题涉及到的知识点主要有直角梯形、函数及其图象等．
解题后的思考：本题中有两个动点，在允许的范围内某一时刻四边形ANMD 是固定不动的，可用含t的式子表示出面积y，再根据y与t之间的关系式确定函数图象．
2、如图所示，已知直线
3
1
y x
=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB
为直角边在第一限象内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点。
（1）求S△ABC；
（2）证明不论a取任何实数，△BOP的面积是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．
思路分析：
1）题意分析：本题中动点P的位置没有给出来，根据点P的坐标特征，它应该在一条直线上，这条直线与y轴平行，在y轴的右侧，到y轴的距离是1．点P的位置随a的变化而在直线x＝1上运动．
2）解题思路：（1）因为△ABC为等腰直角三角形，所以只要求出AB即可．又因为A、B两点是已知直线与x轴、y轴的交点，所以两点坐标可求，这样OA、OB的长可求，在Rt△OAB中，利用勾股定理可求得AB．（2）求△BOP的面积可以以OB为底，点P到y轴的距离为高．底边OB不变，高为点P的横坐标1，所以S△BOP为常数．（3）注意满足条件的点P可能在第四象限，也可能在第一象限．
解题后的思考：求△ABC的面积实质是求它的两条直角边长，本题的（1）和（2）问比较容易，（3）问难度稍微大一些，应注意分情况讨论．小结：解答动点问题要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表示出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识求解．
提分技巧
解答几何动态问题大致可分为三步：（1）审清题意，明确研究对象．（2）明确运动过程，抓住关键时刻的动点，如起点，终点．（3）将运动元素看作静止元素，运用数学知识解决问题．
同步练习
1：如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(－1，
0)．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（b=—3/2；D(3/2,—25/8)）
(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；Rt
(3)点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM＋DM的值最小时，求m的值。
2、如图（1），在矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝4cm，点P从点A开始沿折线A→B→C→D以4cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1cm/s 的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？
（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2 cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？
（1）根据题意，当AP＝DQ时，由AP∥DQ，∠A＝90º，得四边形APQD为矩形．此时，4t＝20－t．解得t＝4（s）．∴t为4 s时，四边形APQD为矩形．（2）当PQ＝4时，⊙P与⊙Q外切．①如果点P在AB上运动，只有当四边形APQD 为矩形时，PQ＝4．由（1），得t＝4（s）．②如果点P在BC上运动，此时，
t ≥5．则CQ ≥5，PQ ≥CQ ≥5＞4，∴⊙P 与⊙Q 外离．③如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的右侧．可得CQ ＝t ，CP ＝4t －24．当CQ －CP ＝4时，⊙P 与⊙Q 外切．此时，t －（4t －24）＝4．解得t ＝（s ）．④如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的左侧．当CP －CQ ＝4时，⊙P 与⊙Q 外切（t=4s ；t=20/3s ；t=28/3s ）
3、 如图2，在矩形ABCD 中，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 停止。
若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm ，点Q 的速度为每秒dcm 。
图3是点P 出发x 秒
后△APD 的面积
)cm (S 21与x （秒）的函数关系图象，图4是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积)cm (S 22与x （秒）的函数关系图象。
图2
图3图4
（1）参照图3，求a 、b 及图3中c 的值。
（a=6；b=2；c=17） （2）求d 的值。
d=1
（3）设点P 离开点A 的路程为)cm (y 1，点Q 到点A 还需走的路程为)cm (y 2，请分别写出动点P 、Q 改变速度后，1y 、2y 与出发后的运动时间x （秒）的函数关系式。
并求出P 、Q 相遇时x 的值。
（4）当点Q 出发________秒时，点P 、点Q 在运动路线上相距的路程为25cm 。
分析与略解：解决此类问题的关键是应注意图形位置变化及动点运动的时间和速度，用分类讨论的思想来求解。
四：归纳总结
（1）几何动态、存在探索既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态、存在探索性的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”．（2）从以上各例可以看出，分类思想在几何中的应用较为广泛.这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证。