MC NCEC CD(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)中考数学专题 动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形 ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10,梯形的高为4 •动 点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动•设运动的时间为t (秒)•(1 )当MN I AB 时，求t 的值；(2)试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析 动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说， 都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M , N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。
但是我们发现，和 这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。
由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】解：(1 )由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则 四边形ABED 是平行四边形.••• AB II DE , AB II MN • ••• DE II MN •(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题)25 8 △MNC为等腰三角形.••• t 1 •解得t 50 .10 3 5 17【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。
在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。
具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：①当MN NC时，如图②作NF BC交BC于F ,则有MC 2FC即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）DF4sin C—CD5C3•cos5，3t•102t 2 —5解得t8②当MN MC时，如图③，过M作MH CD于H . 贝U CN 2CH ,•••t 2 10 2t 3.5•t 60.17③当MC CN时,则10 2t t .103综上所述，当t【例2】在△ABC中，/ACB=45 o .点D (与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF .(1)如果AB=AC .如图①，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.(2)如果AB #AC,如图②，且点D在线段BC上运动.(1 )中结论是否成立，为什么？(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC = 4.2 ,BC 3, CD= x，求线段CP的长.(用含x的式子表示)【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。
由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递, 就可以得解。
【解析】：(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：AB=AC , /ACB=45 o ,「.Z ABC=45 o .由正方形ADEF 得AD=AF ,T/DAF= ZBAC =90 o,•••ZDAB= /FAC,「.A)AB 也zEAC , •••厶CF= /ABD .•••ZBCF= ZACB+ /ACF= 90 o .即CF丄BD .【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找一样求解。
(2) CF 丄BD . (1)中结论成立.理由是：过点 A 作AG 丄AC 交BC 于点G ,「.AC=AG 可证：△ GAD 也/CAF•••厶CF= ZAGD=45 oZBCF= ZACB+ ZACF= 90 o . 即 CF 丄 BD【思路分析3】这一问有点棘手，D 在BC 之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位置是不 一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X 还是4-X 。
分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.(3)过点 A 作AQ 丄BC 交CB 的延长线于点 Q , ①点D 在线段BC 上运动时,【例3】已知如图，在梯形ABCD 中，AD // BC , AD 2, BC 4,点M 是AD 的中点,△ MBC 是等边三角形.(1) 求证：梯形 ABCD 是等腰梯形；易证△AQD s/DCP , •CP CD,• CP xDQ AQ4x42x CPx .4②点D 在线段BC 延长线上运动时，过A 作AG AC 交CB 延长线于点G ,则AGDACF△AQD S /DCP , • CP CD,• CP xDQ AQ4 x42xCPx .4■//BCA=45 o ，可求出 AQ= CQ=4 . • DQ=4-x , ■//BCA=45 o ，可求出 AQ= CQ=4 , • DQ=4+x(2) 动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且/ MPQ 60保持不变.设PC x, MQ y,求y与x的函数关系式；(3) 在(2)中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由. M【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。
第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。
第二问和例1 一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。
题目给定/MPQ=60 。
这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来•因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系•怎么证相似三角形呢？当然是利用角度咯•于是就有了思路•【解析】(1)证明：••• △ MBC是等边三角形•••MB MC,Z MBC / MCB 60•••M是AD中点•AM MD•/ AD // BC•••/AMB / MBC 60 ,/ DMC / MCB 60 •••△ AMB DMC•AB DC•梯形ABCD是等腰梯形.Z MPQ 60•••/ BMP Z BPM Z BPM Z QPC 120（这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩）• Z BMP Z QPC • △ BMP CQP •竺 CQ "BM BP• y -x 2 x 4 4 (设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。
由第二问所得的二次函数，很 轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时Y 有最小值。
接下来就变成了 “给定PC=2，求APQC 形状”的问题了。
由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解。
(3)解： △ PQC 为直角三角形1 2••• y - x 234•••当y 取最小值时，x PC 2• P 是 BC 的中点，MP BC ,而 Z MPQ 60 , • Z CPQ 30 , •Z PQC 90以上三类题目都是动点问题， 这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件， 例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。
如果没有特殊条件，那么就需要研(2)解：在等边△ MBC 中，MB MCBC 4,/ MBC / MCB 60 ,••• PC x , MQy ••BP 4 x , QC 4 y究在动点移动中哪些条件是保持不变的。
当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢？接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG,CG .(1)直接写出线段EG与CG的数量关系；(2)将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G ,连接EG , CG , 你在(1 )中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.(3)将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1 )中的结论是否仍然成立？(不要求证明)DC C【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。
从旋转45。
到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。
第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。
第二问将△ BEF旋转45。
之后，很多考生就想不到思路了。
事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。
连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE ,我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G 点做AD,EF的垂线。
于是两个全等的三角形出现了。
（1）CG EG（2）（ 1 ）中结论没有发生变化，即CG EG .证明：连接AG，过G点作MN AD于M，与EF的延长线交于N点.在DAG与DCG中，•/ AD CD, ADG CDG , DG DG ,••• DAG 也DCG .二AG CG .在DMG与FNG中，•/ DGM FGN , FG DG , MDG NFG ,•DMG 也FNG .•MG NG在矩形AENM中，AM EN在Rt AMG 与Rt ENG 中，•/ AM EN , MG NG ,•- AMG 也ENG .• AG EG .•EG CGDC【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。
但是我们不应该止步于此。
将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△ BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。
建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G 点是FD的中点。
可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF 这一条件将全等过渡。
要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。
（3）（ 1 ）中的结论仍然成立.C【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE 交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B'处.BE(1 )当---- =1 时，CF= cm ,CEBE(2)当=2 时，求sin /DAB '的值;CEBE（3 ）当——=x时（点C与点E不重合），请写出厶ABE翻折后与正方形ABCD公共CE部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）【思路分析】 动态问题未必只有点的平移， 图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。