{来源}2019年四川省南充市中考数学试卷{适用范围:3． 九年级}2019年四川省南充市初中学业水平考试 数学试题考试时间：120分钟 满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 10小题，每小题3分，合计30分． {题目}1． （2019年南充）如果16=a ，那么a 的值为（ ） A.6 B.61 C.-6 D.61-{答案} B{解析}本题考查了倒数的定义，根据乘积为1的数互为倒数即可判断，16=16⨯，因此本题选B ． {分值}3{章节:[1-1-4-2]有理数的除法} {考点:倒数} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2． （2019年南充）下列各式计算正确的是（ ） A.32x x x =+ B.532)(x x = C.326x x x =÷ D.32x x x =⋅{答案}D{解析}本题考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，A.x+x 2，无法合并，故此选项错误；B.（x 2）3＝x 6，故此选项错误；C.x 6÷x 2＝x 4，故此选项错误；D.x •x 2＝x 3，故此选项正确.因此本题选D ． {分值}3{章节:[1-14-1]整式的乘法}{考点:整式加减}{考点:同底数幂的乘法}{考点:幂的乘方}{考点:同底数幂的除法}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}3．（2019年南充）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（）A． B．C．D．{答案} C{解析}本题考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-4-4]课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒}{考点:几何体的展开图}{类别:发现探究}{难度:2-简单}{题目}4．（2019年南充）在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年级（1）班体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图），则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多（）A．5人 B．10人 C．15人D．20人{答案}B{解析}本题考查了扇形统计图的应用，∵选考乒乓球人数为50×40%＝20人，选考羽毛球人数为72=10人，∴选考乒乓球人数比羽毛球人数多5036020﹣10＝10人，，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-10-1]统计调查}{考点:扇形统计图}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}5．（2019年南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．17{答案}B{解析}本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等，由DE垂直平分线AB，可得AE＝BE，所以△ACE的周长＝AC+EC+AE＝AC+EC+BE＝AC+BC＝11，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}{考点:垂直平分线的性质}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}6．（2019年南充）关于x的一元一次方程2x a-2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（）A．9 B．8 C．5 D．4{答案}C{解析}本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程解的定义，所以a﹣2＝1，2+m＝4，所以a＝3，m＝2，所以a+m＝3+2＝5，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-3-1-1]一元一次方程}{考点:一元一次方程的定义}{考点:方程的解}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}7．（2019年南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O 上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A.6πB.32π D.2π3π C.3{答案}A{解析}本题考查了平行四边形的性质、扇形面积的计算，连接OB ，根据平行四边形的性质得到AB ＝OC ，推出△AOB 是等边三角形，得到∠AOB ＝60°，所以S △AOB ＝S △ABC ，再根据扇形的面积公式即可求解，S 阴影＝S 扇形OAB ＝2606360π⋅⋅＝6π，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:平行四边形边的性质} {考点:平行四边形角的性质} {考点:扇形的面积}{考点:等边三角形的判定与性质} {类别:思想方法} {难度:3-中等难度}{题目}8． （2019年南充）关于x 的不等式2x+a ≤1只有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ）A ．﹣5＜a ＜﹣3B ．﹣5≤a ＜﹣3C ．﹣5＜a ≤﹣3D ．﹣5≤a ≤﹣3{答案}C{解析}本题考查了一元一次不等式(组)及应用，首先解不等式不等式可得12a x -≤，再根据不等式有两个正整数解，一定是1和2，所以1232a-≤＜，解得：﹣5＜a ≤﹣3．因此本题选C ．{分值}3{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:解一元一次不等式} {考点:一元一次不等式的整数解} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}9． （2019年南充）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合，以下结论错误的是（ ）A ．AB 2＝10+B ．CD BCC ．BC 2＝CD •EH D ．sin ∠AHD {答案}A{解析}本题考查了矩形、正方形、菱形的性质与判定.首先证明四边形ABHD 是菱形，利用勾股定理求出AB ，AD ，CD ，EH ，AH ，即可判断.解：在Rt △AEB 中， AB ∵AB ∥DH ，BH ∥AD ， ∴四边形ABHD 是平行四边形， ∵AB ＝AD ，∴四边形ABHD 是菱形，∴AD ＝AB∴CD ＝AD ＝AD1，∴12CD BC ＝，故选项B 正确， ∵BC 2＝4，CD •EH1）＝4， ∴BC 2＝CD •EH ，故选项C 正确， ∵四边形ABHD 是菱形， ∴∠AHD ＝∠AHB ， ∴sin ∠AHD ＝sin ∠AHB ＝AEAH，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:矩形的性质} {考点:菱形的性质} {考点:菱形的判定} {考点:正方形的性质} {考点:几何选择压轴} {考点:折叠问题} {类别:发现探究} {难度:4-较高难度}{题目}10．（2019年南充）抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数），a ＞0，顶点坐标为（12，m ），给出下列结论：①若点（n ，y 1）与)223(2y n ，-在该抛物线上，当n ＜12时，则y 1＜y 2；②关于x的一元二次方程ax 2﹣bx+c ﹣m+1＝0无实数解，那么（ ） A ．①正确，②正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误{答案}A{解析}本题考查了二次函数图象及其性质，①根据二次函数的增减性进行判断便可；②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2﹣bx+c ﹣m+1＝0的根的判别式中计算，判断其正负即可判断正误.解：①∵顶点坐标为（12，m ），n ＜12，∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x =12的对称点为（1﹣n ，y 1），∴点（1﹣n ，y 1）与（322n -，y 2）在该抛物线上， ∵（1﹣n ）﹣（322n -）＝n ﹣12＜0， ∴1﹣n ＜322n -， ∵a ＞0，∴当x ＞12时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故①正确；②把（12，m ）代入y ＝ax 2+bx+c 中，得m ＝1142a b c ++，∴一元二次方程ax 2﹣bx+c ﹣m+1＝0中，△＝b 2﹣4ac+4am ﹣4a ＝b 2﹣4ac+4a （1142a b c ++）﹣4a ＝（a+b ）2﹣4a ＜0，∴一元二次方程ax 2﹣bx+c ﹣m+1＝0无实数解，故②正确； 因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}{考点:抛物线与一元二次方程的关系}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，合计18分．{题目}11．（2019年南充）原价为a元的书包，现按8折出售，则售价为元.{答案}0.8a{解析}本题考查了整式的基本概念，能根据题意列出代数式是解题的关键，因此本题答案为0.8a．{分值}3{章节:[1-2-1]整式}{考点:列代数式}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}12．（2019年南充）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH= °{答案}15{解析}本题考查了正方形和等腰三角形的性质，根据正方形的性质得到AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，在正六边形ABEFGH 中，求得AB ＝AH ，∠BAH ＝120°，于是得到AH ＝AD ，∠HAD ＝360°﹣90°﹣120°＝150°，根据等腰三角形的性质即可得到结论，因此本题答案为15． {分值}3{章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {考点:正方形的性质} {考点:等腰直角三角形} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}13．（2019年南充）计算：=-+-xx x 1112 .{答案} x+1{解析}本题考查了分式的加减运算，先化为同分母分式，利用同分母分式的减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，计算即可得到结果，因此本题答案为x+1． {分值}3{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:两个分式的加减} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}14．（2019年南充）下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据.只鸡质量的中位数为 .{答案}1.4kg{解析}本题考查了中位数的基本概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．因此本题答案为1.4kg ． {分值}3{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}15．（2019年南充）在平面直角坐标系xOy 中，点)2,3(n m A 在直线1+-=x y 上，点),(n m B 在双曲线xky =上，则k 的取值范围为 .{答案}124k ≤且0≠k {解析}本题考查了一次函数与反比例函数图象及其应用，根据一次函数图象上点的特征求得312m n -+=，即可得到B （m ，312m -+），根据反比例函数图象上点的特征得到k 关于m 的函数，k ＝m •312m -+＝23112624m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质即可求得k 的取值范围，注意0≠k ．因此本题答案为124k ≤且0≠k ． {分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}{考点:反比例函数与一次函数的综合} {考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {类别:易错题} {难度:4-较高难度}{题目}16．（2019年南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB=24，BC=5.给出下列结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(.其中正确的结论是 （填写序号）.{答案}②③{解析}本题考查了直角三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，①由条件可知AB ＝24，则AB 的中点E 的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E 所经过的路径长；②当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ，可求出最大面积为144；③当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，可求出OD ＝25，证明△DFA ∽△AOB 和△DFO ∽△BOA ，可求出DF 长，则D 点坐标可求出．因此本题答案为②③．解：∵点E 为AB 的中点，AB ＝24，∴OE ＝12AB ＝12，∴AB 的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12为半径的一段圆弧， ∵∠AOB ＝90°， ∴点E 经过的路径长为9012180π⨯＝6π，故①错误； 当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ，∵E 为AB 的中点，∴OE ⊥AB ， OE ＝12AB ＝12， ∴S △AOB ＝124122⨯⨯＝144，故②正确；如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y轴于点F ，∵AD ＝BC ＝5，AE ＝12AB ＝12， ∴DE 22AD AE +＝22512+ ＝13， ∴OD ＝DE+OE ＝13+12＝25， 设DF ＝x ，∴OF 22OD DF -2225x - ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB ＝90°， ∴∠DFA ＝∠AOB ， ∴∠DAF ＝∠ABO ， ∴△DFA ∽△AOB ∴DF DAOA AB=，∴524x OA =， ∴245xOA =， ∵E 为AB 的中点，∠AOB ＝90°， ∴AE ＝OE ， ∴∠AOE ＝∠OAE ， ∴△DFO ∽△BOA ， ∴OD OFAB OA=，∴25245=解得x，x＝﹣舍去， ∴OF∴D（故答案为：②③． {分值}3{章节:[1-18-2-1]矩形} {考点:三角形综合题}{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质} {难度:5-高难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共9个小题，合计72分．{题目}17．（2019年南充）计算：1 02112|32|)1(-⎪⎭⎫⎝⎛+--+-π{解析}本题考查了实数的混合计算，关键在于计算要准确，不能漏掉符号．{答案}解：原式=232)23(1+--+ ----------------------- 4分=232231+--+ -------------------------------------- 5分=31------------------------------------- 6分{分值}6{章节:[1-6-3]实数}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:负指数参与的运算}{考点:算术平方根}{考点:绝对值的性质}{考点:零次幂}{题目}18．（2019年南充）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD=BC. （1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO=35°，求∠DOC的度数.{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，（1）根据线段中点的定义得到AO＝BO，根据平行线的性质得到∠AOD＝∠OBC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．{答案}解： （1）证明：∵点O 线段AB 的中点，∴AO=BO ． ------ 1分 ∵OD ∥BC ，∴∠AOD=∠OBC ． ------------------------------ 2分在△AOD 和△OBC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC OD OBC AOD BOAO ，∴△AOD ≌△OBC （SAS ） ---------------------------------- 4分 （2）解：∵△AOD ≌△OBC ，∴∠ADO=∠OCB=35°． ---------- 5分 ∵OD ∥BC ，∴∠DOC=∠OCB=35°． ------------------------- 6分 {分值}6{章节:[1-12-2]三角形全等的判定} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:全等三角形的性质} {考点:全等三角形的判定SAS} {考点:平行线的性质与判定}{题目}19．（2019年南充）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字-2，-1,0,2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.（1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率；（2）先随机抽取卡片，其上的数字作为点A 的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A 的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A 在直线y=2x 上的概率.{解析}本题考查了树状图法或列表法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征，（1）由概率公式即可得出结果；（2）直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案．{答案}解：（1）∵抽取的负数可能为-2，-1，∴抽取出数字为负数的概率为P=2142= ------------------------------------------------------- 2分 （2）列表如下------------------ 4分∵共有16种等可能结果，其中点A 在直线y=2x 上的结果有2种 ---- 5分 ∴点A 在直线y=2x 上的概率为21168P '== ----------------------- 6分 {分值}6{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:3-中等难度}{类别:常考题} {考点:一次函数的图象} {考点:两步事件放回}{题目}20．（2019年南充）已知关于x 的一元二次方程03)12(22=-+-+m x m x 有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为21,x x ，求代数式)24)(2(222121+++x x x x 的值. {解析}本题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于b a-，两根之积等于c a”．（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m ＝2代入原方程可得：x 2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．{答案}解： （1）△＝（2m ﹣1）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣4m+13， ---- 2分 由题意知原方程有实根，∴△＝﹣4m+13≥0， ---------------- 3分 ∴m≤134． ---------------------------------------------- 4分 （2）当m ＝2时，方程为x 2+3x+1＝0， ----------------------- 5分 ∴x 1+x 2＝﹣3，x 1x 2＝1， ----------------------------------- 6分 ∵方程的根为x 1，x 2， ∴x 12+3x 1+1＝0，x 22+3x 2+1＝0， ∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）＝（x 12+2x 1+x 1﹣x 1）（x 22+3x 2+x 2+2） ＝（﹣1﹣x 1）（﹣1+x 2+2） ＝（﹣1﹣x 1）（x 2+1） ＝﹣x 2﹣x 1x 2﹣1﹣x 1 ＝﹣x 2﹣x 1﹣2＝3﹣2＝1． --------------------------------------------------- 8分 {分值}8{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:根的判别式} {考点:根与系数关系}{题目}21．（2019年南充）双曲线xk y =（k 为常数，且0≠k ）与直线b x y +-=2交于1(,2)2A m m --，(1,)B n 两点.（1）求k 与b 的值；（2）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点E 为CD 的中点，求△BOE的面积.{解析}本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的图象与性质．（1）将A 、B 两点的坐标代入一次函数解析式可得b 和n 的值，则求出点B （1，﹣2），代入反比例函数解析式可求出k 的值．（2）先求出点C 、D 两点的坐标，再求出E 点坐标，则S △BOE ＝S △ODE +S △ODB ＝()12B E OD x x ⋅-，可求出△BOE 的面积． {答案}解：（1）∵点)2,21(--m m A 在直线b x y +-=2上，∴12()22m b m --+=-，∴b＝﹣2 ----------------------------- 2分 ∴22--=x y ，∵点B （1，n ）在直线22--=x y 上，∴4212-=-⨯-=n 3分 ∴B （1，-4），∵B （1，-4）在双曲线xk y =上，∴4)4(1-=-⨯=k 4分 （2）直线22--=x y 交x 轴于C （-1,0），交y 轴于D （0，-2） ---- 5分 ∴S △COD =1|2||1|21=-⨯-⨯∵点E 为CD 的中点，∴S △COE =21S △COD =21 ------------------------ 6分 ∵S △COB =2|4||1|21=-⨯-⨯ ------------------------------------- 7分 ∴S △BOE =S △COB -S △COE =2-2321=. -------------------------------- 8分 {分值}8{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}{考点:反比例函数与一次函数的综合}{题目}22．（2019年南充）如图，在△ABC中，以AC 为直径的⊙O交AB 于点D ，连接CD ，∠BCD=∠A.（1）求证：BC 是⊙O的切线；（2）若BC=5，BD=3，求点O 到CD 的距离.{解析}本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理、三角形的中位线的性质．（1）根据圆周角定理得到∠ADC ＝90°，得到∠A+∠ACD ＝90°，求得∠ACB ＝90°，于是得到结论；（2）过O 作OH ⊥CD 于H ，根据相似三角形的性质得到AB ＝253，根据垂径定理得到CH ＝DH ，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．{答案}解：（1）证明：∵AC 是⊙O的直径，∴∠ADC=90°． ---- 1分 ∴∠A+∠ACD=90°，∵∠BCD=∠A ，∴∠BCD+∠ACD=90° ------ 2分 ∴OC ⊥BC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线. --------- 3分（2）解：过点O 作OE ⊥CD 于点E ，如图所示 --------------- 4分 在Rt △BCD 中，∵BC=5，BD=3，∴CD=4 --------------------- 5分 ∵∠ADC=∠CDB=90°，∠BCD=∠A.∴Rt △BDC ∽Rt △CDA.∴43==CD BD AD CD ，∴316=AD ------------- 6分 ∵OE ⊥CD ，∴E 为CD 的中点 ------------------------------ 7分 又∵点O 是AC 的中点，∴OE=3821=AD ---------------------- 8分 {分值}8{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}{难度:4-较高难度}{类别:常考题}{考点:切线的性质}{考点:切线的判定}{考点:三角形中位线}{考点:直径所对的圆周角}{考点:垂径定理}{题目}23．（2019年南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？{解析}本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用．（1）钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设钢笔的单价为a 元，购买数量为b 元，支付钢笔和笔记本的总金额w 元，①当30≤b≤50时，求得w ＝﹣0.1（b ﹣35）2+722.5，于是得到700≤w≤722.5；②当50＜b≤60时，求得w ＝8b+6（100﹣b ）＝2b+600，700＜w≤720，于是得到当30≤b≤60时，w 的最小值为700元，即可得到答案．{答案}解：（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元.根据题意可得⎩⎨⎧=+=+70543832y x y x ---------------------------------------------- 2分 解得：⎩⎨⎧==610y x . ------------------------------------------- 4分答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元.（2）设钢笔单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元. ①当30≤b≤50时，131.0)30(1.010+-=--=b b a ----------------- 5分 5.722)35(1.060071.0)100(6)131.0(22+--=++-=-++-=b b b b b b W ------ 7分 ∵当30=b 时，W=720，当b=50时，W=700∴当30≤b≤50时，700≤W≤722.5 -------------------------- 8分 ②当50＜b≤60时，a=8，720700,6002)100(68≤<+=-+=W b b b W -- 9分 ∴当30≤b≤60时，W 的最小值为700元∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元. ------------- 10分 {分值}10{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:商品利润问题}{考点:简单的列二元一次方程组应用题}{考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质}{题目}24．（2019年南充）如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，以DE 为边作正方形DEFG ，DF 与BC 交于点M ，延长EM 交GF 于点H ，EF 与GB 交于点N ，连接CG.（1）求证：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN=31，求EMMN 的值；（3）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在运动过程中，EM 的长能否为21？请说明理由.{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．（1）由正方形的性质得出∠A ＝∠ADC ＝∠EDG ＝90°，AD ＝CD ，DE ＝DG ，即∠ADE ＝∠CDG ，由SAS 证明△ADE ≌△CDG 得出∠A ＝∠DCG ＝90°，即可得出结论；（2）先证明△EDM ≌△GDM 得出∠DME=∠DMG ，又∠DMG=∠NMF ，得出∠DME=∠NMF ，所以△DME ∽△FMN ，得出DMFM ME MN =，由DE ∥HF ，得出DM FM ED HF =，又ED=EF ，所以EF HF ME MN =，在Rt △EFH 中，tan ∠HEF=31=EF HF ，即可得出结果；（3）设AE=x ，则BE=1-x ，CG=x ，设CM=y ，在Rt △BEM 中，222EM BM BE =+，得出11+-=x x y ，112++=+=x x y x EM ，若21=EM ，则21112=++x x ，方程无解，即可得出结论．{答案}解：（1）证明：在正方形ABCD ，DEFG 中，DA=DC ，DE=DG ，∠ADC=∠EDG=∠A=90° --------------------- 1分 ∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC ，即∠ADE=∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ） ------------------------------------------------------ 2分 ∴∠DCG=∠A=90°，∴CD ⊥CG ----------------------------- 3分（2）解：∵CD ⊥CG ，DC ⊥BC ，∴G 、C 、M 三点共线．∵四边形DEFG 是正方形，∴DG=DE ，∠EDM=∠GDM=45°，又∵DM=DM ∴△EDM ≌△GDM ，∴∠DME=∠DMG -------------------------- 4分 又∠DMG=∠NMF ，∴∠DME=∠NMF ，又∵∠EDM=∠NFM=45°∴△DME ∽△FMN ，∴DM FM ME MN =． -------------------------- 5分 又∵DE ∥HF ，∴DM FM ED HF =，又∵ED=EF ，∴EFHF ME MN =． -------- 6分 在Rt △EFH 中，tan ∠HEF=31=EF HF ，∴31=ME MN ． -------------- 7分 （3）设AE=x ，则BE=1-x ，CG=x ，设CM=y ，则BM=1-y ，EM=GM=x+y8分 在Rt △BEM 中，222EM BM BE =+，∴222)()1()1(y x y x +=-+-， 解得11+-=x x y ． ------------------------------------------ 9分 ∴112++=+=x x y x EM ，若21=EM ，则21112=++x x ， 化简得：0122=+-x x ，△=-7＜0，∴方程无解，故EM 长不可能为21.10分 {分值}10{章节:[1-18-2-3] 正方形}{难度:5-高难度}{类别:发现探究}{考点:全等三角形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:相似三角形的性质}{考点:相似三角形的判定（两角相等）}{考点:根的判别式}{考点:几何综合}{题目}25．（2019年南充）如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （-1，0），点B （-3,0），且OB=OC.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P 的坐标；（3）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E.①求DE 的最大值.②点D 关于点E 的对称点为F.当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？{解析}本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质．（1）已知抛物线与x 轴两交点坐标，可设交点式y ＝a （x+1）（x+3）；由OC ＝OB ＝3得C （0，﹣3），代入交点式即求得a ＝﹣1．（2）由∠POB ＝∠ACB 联想到构造相似三角形，因为求点P 坐标一般会作x 轴垂线PH 得Rt △POH ，故可过点A 在BC 边上作垂线AG ，构造△ACG ∽△POH ．利用点A 、B 、C 坐标求得AG 、CG 的长，由相似三角形对应边成比例推出12PH AG OH CG ==．设点P 横坐标为p ，则OH 与PH 都能用p 表示，但需按P 横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p 表示OH 与PH 并代入OH ＝2PH 计算即求得p 的值，进而求点P 坐标．（3）①用m 表示M 、N 横纵坐标，把m 当常数求直线MN 的解析式．设D 横坐标为d ，把x ＝d 代入直线MN 解析式得点E 纵坐标，D 与E 纵坐标相减即得到用m 、d 表示的DE 的长，把m 当常数，对未知数d 进行配方，即得到当d ＝m+2时，DE 取得最大值．②由矩形MDNF 得MN ＝DF 且MN 与DF 互相平分，所以E 为MN 中点，得到点D 、E 横坐标为m+2．由①得d ＝m+2时，DE ＝4，所以MN ＝8．用两点间距离公式用m 表示MN 的长，即列得方程求m 的值．{答案}解：（1）∵OB=OC ，B （-3,0），∴C （0，-3） ---------- 1分又题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==+-=+-30390c c b a c b a -------------------------------- 2分解得：3,4,1-=-=-=c b a .∴342---=x x y . ---------------------------------------- 3分（2）过点A 作AG ⊥BC 于点G ，如图所示，BG=AG=AB ·sin45°=2.4分 ∵BC=232=OB ，∴CG=BC-BG=22，∴tan ∠ACG=21=CG AG . ---- 5分 设P （34,2---t t t ），过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，tan ∠POQ=tan ∠ACG=21.①当P 在x 轴上方时，034,02>---<t t t则PQ=t OQ t t -=---,342，tan ∠POQ=0672,213422=++=----=t t t t t OQ PQ解得23,221-=-=t t ，∴)43,23(),1,2(21--P P . ---------------------- 6分②当点P 在第三象限时，0692,213422=++=-++t t t y t ， 解得：4339,433943--=+-=t t ∴)8339,4339(),8339,4339(43+-+-+-+-P P . ----------------- 7分 ③当点P 在第四象限时，∠POB ＞90°，而∠ACB ＜90°，∴点P 不在第四象限故点P 坐标为),1,2(-或)43,23(-或)8339,4339(+-+-或)8339,4339(+-+- （3）①由已知，)3)4(4)4(,4(),34,(22-+-+-+---m m m N m m m M即)3512,4(2---+m m m N ，设直线MN 为n kx y +=得：⎪⎩⎪⎨⎧---=++---=+3512)4(3422m m n m k m m n km 解得：⎩⎨⎧-+=--=34822m m n m k 故MN 为)34()8(2-++--=m m x m y . -------------------------- 8分 设)34,(2---t t t D ，))34()82(,(2-++--m m t m t E∴DE=----)34(2t t )]34()82[(2-++--m m t m=[]4)2()4()2(2222++--=+-++-m t m m t m t ，当2+=m t 时，DE 最大值为4. ----------------------------- 9分 ②当DE 最大时，点)198,2(2---+m m m E 为MN 的中点.由已知，点E 为DF 的中点，∴当DE 最大时，四边形MDNF 为平行四边形. 如果□MDNF 为矩形，则,4222DE DF MN ==故22244)328(4⨯=++m ， 化简得，43)4(2=+m ，故234±-=m . 当234+-=m 或234--时，四边形MDNF 为矩形. -------------- 10分 {分值}10{章节:[1-22-1-1]二次函数}{难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:发现探究} {考点:代数综合}{考点:二次函数与平行四边形综合} {考点:二次函数中讨论相似}{考点:二次函数的三种形式}{考点:矩形的性质}。