一．本章习题P272习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=.一． 说明：C 是上下底面距离，a 是六边形边长。

二． 分析：首先看是怎样密堆的。

如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。

（同一面上有6个，上下各有3个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。

中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。

球心之间距离为a 。

所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。

三． 证明：如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点33'a AB AO ==∴（由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οοο633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a ac OA AO OO2．若晶胞基矢c b a ρρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。

一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ2=。

倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ++=写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρρρ的关系。

即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。

进而求得此面间距d 。

二、解：c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(ρρρ倒格子基矢：kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2cl b k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππρ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1．分析：考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）（1）体积最小的重复结构单元（2）只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。

原胞反映周期性，在空间无空隙无交叠排列成晶格。

我们不容易看出哪几个原子组合成一个格点。

我们可先分析晶胞是否组成复式格子？何种格子组成的复式格子？是由几层套构而成的？我们知道如果是体心立方，将是两个简立方套构而成的二重复式格子。

如果是面心立方，将有对面面心处的原子构成三重简立方格子；加上顶点处是四重简立方格子。

这样，我们的题中是体心加面心，面心的四重格子加上体心处的原子构成的一重格子，故应是五重简立方的复式格子。

所以布拉菲晶格是简单立方格子。

这样可将体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为一个组合形成一个格点，即由5个原子形成一个格点，亦即基元是选这样的原子组合。

最后格点的原胞是简立方，每个原胞含一个格点，每个格点含五个原子。

故每个原胞含有5个原子。

2．答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。

体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。

布拉菲晶格是简单立方格子。

4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。

一．（111）面（1） 分析：先分析有几个原子？ 如图（书图，P10）。

（111）面由3顶点连线组成的面。

3个顶点原子，每个贡献1/6，3个面心原子，每个贡献1/2，共6原子，每个（111）面有2213613=⨯+⨯个原子。

求出（111）面面积可得原子面密度。

（2） 解：平均每个（111）面有2213613=⨯+⨯个原子。

（111）面面积()222232322)22()2(221a a a a a a =⋅=-⋅ 所以原子面密度22)111(34232aa ==σ二．（110）面（1） 分析：如图（书图，P10）。

（110）面是四顶点组成的面。

分析有几个原子？4个顶点原子，每个贡献1/4（上下两层，每层两个单胞中的（110）共用一个顶点）；2个面心原子，每个贡献1/2。

共6个原子，平均每个（110）面有2212414=⨯+⨯原子。

再求出（110）面积即可。

（2） 解：平均每个（110）面有2212414=⨯+⨯个原子。

（110）面面积222a a a =⋅所以（110）面原子面密度22)110(222a a==σ5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a ρρρρ2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。

解：倒格子基矢：jb j a j a j ax x a a a a v b k x a i ax i a x a a a a v b ρρρρρρρρρρρρρρρ11323321212212222)(2)(2222)(2===⋅⋅=⨯===⋅⋅=⨯=πππππππ所以倒格子也是二维矩形格子。

2b ρ方向短一半。

最近邻;,22b b ρρ-次近邻;2,2,,2211b b b b ρρρρ--再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b ρρρρρρρρ---+-再再次近邻;3,322b b ρρ-做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。

再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：第一布里渊区是一个扁长方形；第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成；第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。

6．六方密堆结构的原胞基矢为：kc a j a i a a ja i a a ρρρρρρρρ=+-=+=32123212321试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。

1． 分析：从前面的学习我们已经知道，六方密堆结构是两个简单六方格子复合成的二重复式格子。

所以原胞为简单六方结构。

1． 解：原胞为简单六方结构。

原胞体积：c a j i j i c a i j ac j i a k c j i a j i a a a a v 2232123)3()3(41)]3(21[)3(21])3(21[)3(21)(=+⋅+=+⋅+=⨯+-⋅+=⨯⋅=ρρρρρρϖρρρρρρρρρ 倒格子基矢：kca a vb j i aj i a k c c a a a vb j i a kc j i a c a a a v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρππππππππ2)(2)3(2)]3(21[232)(2)3(32])3(21[232)(221321322321=⨯=+-=+⨯=⨯=+=⨯+-=⨯=由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。

（注意：倒格子是简单六方，而不是六方密堆）选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。

次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。

再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。

所以第一布里渊区是一个六角柱体。

比倒格子六方要小。

7．试求金刚石的结构因子并讨论X 射线衍射消失的条件。

解：图见书P7图(a)金刚石结构的布拉菲晶格是面心立方格子，基元中有两个原子。

将顶角处选为原点，另一原子位置)(4k j i a r L ρρρρ++=进而，将面心再看成是四套简立方的复式格子。

简立方每个格点有四个面心立方的格点，而面心立方的格点有2个原子。

所以简立方的每个格点就相当于有842=⨯个原子。

也就是考虑一个金刚石结构单胞中，顶点中的一个原子和6个面心中的3个原子（每对对面中取一个）及4个对角原子作为一个基元。

最后可构成简单立方晶格。

这时基矢：k a a j a a i a a ρρρρρρ===321,,一个单胞中各原子位矢：顶点：,01=r ρ面心：),(2),(2),(2432k i a r k j a r j i a r ρρρρρρρρρ+=+=+=对角：)33(4),33(4),33(4),(48765k j i ar k j i a r k j i a r k j i a r ρρρρρρρρρρρρρρρρ++=++=++=++=因为都是同一原子，故原子散射因子都为f ，简立方布拉菲晶格的倒格矢)(2321k h j h i h aa ρρρρ++=π则结构因子⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++++==++⋅++++⋅++++⋅++++⋅+++⋅+++⋅+++⋅++⋅∑)33()(2)33()(2)33()(2)(4)(2)()()()()()(3213213213213213213211)(k j i k h j h i h i k j i k h j h i h i k j i k h j h i h i k j i a k h j h i h a i k i k h j h i h i k j k h j h i h i j i k h j h i h i jr G i j e e e e e e e f ef G S jρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππ ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++++++=+++++++++++)33(2)33(2)33(2)(2)()()(3213213213213132211h h h i h h h i h h h i h h h i h h i h h i h h i e e e e e e e f πππππππ ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++++++=++++++++]1[1)()()()(2)()()(312132321313221h h i h h i h h i h h h i h h i h h i h h i e e e e e e e f πππππππ⎭⎬⎫⎩⎨⎧++++=+++++]1][1[)(2)()()(321313221h h h i h h i h h i h h i e e e e f ππππ故当（1）{}1)()()(313221-=+++++h h i h h i h h i e e e πππ 时，S=0，消光；或当（2）1)(2321-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++h h h i e π时，也有S=0，也消光。