《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1 、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，xnVVc（ 1）对于简立方结构： （见教材 P2图 1-1）a=2r ， V= 4r 3 ， Vc=a 3，n=134 r 3 4 r 3∴ x 3 30.52a 3 8r 3 6（ 2）对于体心立方：晶胞的体对角线 BG= 3a4ra 4 3 xn=2, Vc=a332 4 r3 24 r 3 3∴ x 3 30.68a 3 ( 4 38r )33（ 3）对于面心立方：晶胞面对角线 BC= 2a4r ,a2 2rn=4 ，Vc=a 34 4 r 34 4 r 32x330.74a3( 2 2r)36（ 4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积： S=6 S ABO6a a sin 60 3 322=a2晶胞的体积： V= SC3 3 a 28 a 3 2a 3 24 2r 323n=12 12 1 21 3=6个626 4 r 32x3 0.7424 2r36（ 5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG= 3a4 2ra8r n=8, Vc=a 338 4 r 38 4 r3x33 3 330.34a8 r 3 63 31.2 、试证：六方密排堆积结构中c ( 8)1/2 1.633a 3证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球 A 、 B 、 O 的中心联线形成一个边长 a=2r 的正三角形，第二层硬球 N 位于球 ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中 NABO 构成一个正四面体。
⋯1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
a 1a( j k )2证明：（ 1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）： aa(i k )22a 3a(ij )2由倒格子基矢的定义：b 1 2 (a 2 a 3 )0,a , a i ,j , k2 2a 3a 2( i j k )a 1 ( a 2 a 3 )a, 0,a， a 2 a 3 a, 0,a 224224a , a , 0 a , a , 02 22 2b 1 24 a 2( ij k )2( i jk)a 3 4ab 22 (i jk)同理可得：a即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
2b 3(i jk )a所以，面心立方的倒格子是体心立方。
a 1a( ijk )2（ 2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）： a 2a (ij k )2a 3a(ijk )2由倒格子基矢的定义：b 1 2(a 2 a 3 )a , a , ai , j , k222a 3a 2( j k )a 1 ( a 2 a 3 )a , a , a ， a 2 a 3 a ,a , a 22 2 22 22 2a ,a , a a ,a ,a22 2 222b 1 22 a 2( j k )2 ( j k )a 3 2ab 22 (i k )同理可得：a 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
2b 3(i j )a所以，体心立方的倒格子是面心立方。
1.5、证明倒格子矢量G hbh bh b 垂直于密勒指数为 (hh h ) 的晶面系。
112 23 31 2 3证明：因为 CAa 1 a 3, CBa 2 a 3 ， G hb h b h bh 1h 3h 2 h 3 1 1 2 23 32ijGh h hCA 0利用 a i b j，容易证明12 3G h 1h 2 h 3 CB 0所以，倒格子矢量G hb 11 h 2b 2 h 3b 3 垂直于密勒指数为 (h 1h 2h 3 ) 的晶面系。
1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为( h, k,l ) 的晶面系，面间距 d 满足： d 2 a 2 (h 2 k 2 l 2 ) ，其中 a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。
解：简单立方晶格：a 1 a 2 a 3 ， a 1 ai , a 2aj , a 3 ak由倒格子基矢的定义：b 1a 2 a 3 ，b 2a 3 a 1 ，b 3a 1 a 2 2a 2a 2a a a a a a a倒格子基矢： b 12 i , b 2 2 j , b3 2 k aa a倒格子矢量： Ghb 1 kb 2 lb 3 ， Gh2i k2jl 2ka a a晶面族 (hkl ) 的面间距： d21G( h )2 ( k ) 2 ( l )2aa ad 2(h 2a 2l 2 )k 2面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。
1.9、画出立方晶格（ 111）面、（ 100）面、（ 110）面，并指出（ 111）面与（ 100）面、（ 111）面与（ 110） 面的交线的晶向。
解： (111)1、 (111)面与 (100)面的交线的 AB ，AB 平移， A 与 O 点重合， B 点位矢： R Baj ak，面与 面的交线的晶向AB aj ak ，晶向指数 [0 11] 。
(111) (100)(111)2、 (111)面与 (110)面的交线的 AB ，将 AB 平移， A 与原点 O 重合， B 点位矢： R B ai aj ， (111)面与 (110)面的交线的晶向 ABai aj ，晶向指数 [110] 。
第二章 固体结合2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数2 ln 2 ，设离子的总数为 2 N 。
＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子 （这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离，于是有( 1 ) 2[ 1 1 14r1... ]jrijr2r3r前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 r i 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为2[11 1 1 ...]2323 4n (14xxx...x)x234当 X=1 时，有 11 1 1 ... n 22 n 22342.3、若一晶体的相互作用能可以表示为u(r )mr nr 试求：（1）平衡间距r 0 ；（ 2）结合能 W （单个原子的） ；（ 3）体弹性模量；（ 4）若取 m 2, n 10, r 03A,W 4eV ，计算及 的值。
解：（ 1）求平衡间距 r 0晶体内能 U (r )N ( r n )2r m平衡条件dUmnn10 ，0 ， r 0)nm(dr r rr 0m 1r 0n 1m（ 2）单个原子的结合能1u( r 0 ) ， u(r 0 ) ((n1Wr mr n )， r 0) n m2r r 0mmW1(1m)( n )n m2n m2U)V V 0（ 3）体弹性模量 K (晶体的体积 V NAr 3 ， A 为常数， N 为原胞数目 晶体内能 U (r )N ( r mr n )2UU r N ( m n1Vr V 2 r m 1 r n 1 )3NAr 22UNr[(m n 12 ]V 22 V r m 1r n 1 )r3NAr2UN 1[m 2n 2mn]V2 2mn mn V V 2 9V 0r 0r 0r 0r 0由平衡条件UN (mn )10 ，得mnVVV 02 r 0m 1 r 0n 1 3NAr 02r 0mr 0n2UN 1m 2n 2]V 22 [m nV V2 9V 0r 0r 02UN 1[ m mn N nm 2 [ mn ]V 22mn n ]V V2 9V 0r 0r 02 9V 0r 0r 0U 0N ( mn )2r 0 r 02Umn( U 0)V 2VV9V 02体弹性模量（ 4）若取KUmn0 9Vm2, n 10, r 0 3A , W 4 eV(n11 (1 m )( nmr 0) n m ， W ) n mm 2 n mWr 010 ，r 02[102W ]2r 01.2 10-95 eV m 10 ，9.0 10 19 eV m 22.6、bcc 和 fcc Ne 的结合能，用林纳德—琼斯 (Lennard — Jones)势计算 Ne 在 bcc 和 fcc 结构中的结合能之比值．＜解＞ u(r ) 4 ( )12( )6 , u(r ) 1N(4 ) A ()12A () 6 rr2rrdu(r )0r62A126u 1 N A62rA62A12 rbcc u( r0 )bcc( A62)/(A6)12.252 / 9.110.957fcc u( r0 ) fccA12A1214.452 /12.132.7、对于H2，从气体的测量得到Lennard — Jones参数为50 10 6 J , 2.96 A.计算fcc结构的H2的结合能 [以 KJ/mol 单位 )，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ ／ mo1，试与计算值比较．＜解＞以 H 2为基团，组成fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard— Jones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：126U 2N P ij12R P ij6.i j R614.45392;P12P ij12.13188,ijj i5010 16 erg, 2.96 A, N 6.0221023 / mol.将R0代入 U 得到平衡时的晶体总能量为。
126因此，计28/ mol 501016erg 12.13 2.96 2.96 2.55KJ / mol.U 2 6022 1014.453.163.16算得到的 H 2晶体的结合能为2． 55KJ ／ mol，远大于实验观察值0.75lKJ ／mo1．对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．第三章 固格振动与晶体的热学性质3.1、已知一维单原子链， 其中第 j 个格波， 在第 n 个格点引起的位移为，nja j sin( j t _ naq j j ) ，j 为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。