|P N | |HN | 的 方 程.
4
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件
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3.已 知 椭 圆C
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a
>b> Nhomakorabea0)
，双 曲 线 x2 a2
−
y2 b2
=
1(a
>
0, b
>
0)
的两条渐近
线l1, l2 ，过 椭 圆C 的 右 焦 点F 作 直 线l ，使 得l⊥l2 ，又l 与l2 交 于P 点，设l 与 椭 圆C的
2
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三、证 明 三 点 共 线 转 化 为 向 量
1.（利 用−→a
=
−→ λb
,转 化 为 比 值 关 系）已 知 曲 线C
:
(5
−
m)x2
+
(m
−
2)y2
=
8(m
∈
R)
（1）若 曲 线C 是 焦 点 在x 轴 上 的 椭 圆，求m 的 取 值 范 围；
直 径 的 圆 恒 过 点M ？若 存 在 求 出 点M 的 坐 标，若 不 存 在 说 明 理 由。
1
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2.已
知F1,
F2分
别
是
椭
圆
x2 4
+
y2
=
1
的 左 右 焦 点。
（1）若P
是
第
一
象
限
内
该
椭
圆
上
一
点，−P−F→1
·
−−→ P F2
且|P Q|
<
|P R|
，求 |P R| |P Q|
的 取 值 范 围。
√ 2.已 知 椭 圆E 的 中 心 在 原 点O ，焦 点 在x 轴 上，离 心 率e = 3 ，椭 圆E 的 右 顶 点 与 上
3 顶 点 之 间 的 距 离 为√5.
(1) 求 椭 圆E 的 标 准 方 程；
(2) 过 定 点P (−3, 4) 且 斜 率 为k 的 直 线 交 椭 圆E 于 不 同 的 两 点M, N ，在 线 段M N 取 异 于M, N 的 点H ，满 足 |P M | = |M H| ，证 明：点H 恒 在 一 条 直 线 上，并 求 出 这 条 直 线
与 曲 线C交 于 不 同 的 两 点M, N，直 线y = 1与 直 线BM 交 于 点G，求 证：A, G, N 三 点 共
线.
3
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件
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四、同 一 直 线 上 不 同 线 段 比 的 问 题 转 化 为 向 量
1. 已 知x2 − y2 = 1(x > 1) 设 直 线y = −2x + m 与y 轴 交 于 点P ，与C相 交 于 点Q, R ， 3
两 个 交 点 由 上 至 下 依 次 为A, B。
（1）当l1, l2 夹 角 为60◦，双 曲 线 的 焦 距 为4时，求 椭 圆C 的 方 程 及 离 心 率； （2）求|F A| 的 最 大 值。
|AP |
5
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件 答 案 解 析
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二、角 条 件 转 化 为 向 量（直 角、锐 角、钝 角） 1.椭 圆 的 方 程 为 x2 + y2 = 1 ，设 动 直 线l : y = kx + m 与 椭 圆 有 且 只 有 一 个 公 共 点P ，
43 且 与 直 线x = 4 相 交 于 点Q ，试 探 究：在 坐 标 平 面 内 是 否 存 在 定 点M ，使 得 以P Q 为
，即 为 动 点P 轨 迹C 的 方 程；
（2）设 点A(x1, y1), B(x2, y2), M (x0, −2) ，
由 题 意 直 线AB的 斜 率k
存 在 且k
̸=
0，设 其 方 程 为y
=
kx + 1，则x0
3 = −k
，得M
(−
3 k
,
−2)
y = kx + 1
由 x2 = 4y,
一、数 量 积 公 式 与 韦 达 定 理 结 合 √
1.解：（1）设 动 点P 的 坐 标 为(x, y) ，由 题 意 知： x2 + (y − 1)2 = |y −(−2)|−1 = |y +2|−1 √
，且y ≥ 0，∴ x2 + (y − 1)2 = y + 1 =⇒ x2 + (y − 1)2 = (y + 1)2，化 简 得：x2 = 4y
（2）设m = 4 ，曲 线C 与y 轴 的 交 点 为A, B （点A 位 于 点B 的 上 方），直 线y = kx + 4 与
曲 线C交 于 不 同 的 两 点M.N ，直 线y = 1与 直 线BM 交 于 点G 。 求 证：A, G, N 三 点 共
线。
2.已 知 椭 圆C : x2 + y2 = 1与y 轴 的 交 点 为A, B（点A 位 于 点B的 上 方），直 线y = kx + 4 84
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件
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一、数 量 积 公 式 与 韦 达 定 理 结 合 1.平 面 上 动 点P 到 点F (0, 1) 的 距 离 比 它 到 直 线l : y = −2 的 距 离 小1． （Ⅰ）求 动 点P 的 轨 迹C 的 方 程； （Ⅱ）过 点F 作 直 线 与 曲 线C 交 于 两 点A, B ，与 直 线l 交 于 点M ，求|M A| · |M B| 的 最 小 值．
=
−
5 4
,求 点P 的 坐 标；
（2）设 过 定 点M (2, 0) 直 线l 于 椭 圆 交 于 不 同 的 两 点A, B ，且∠AOB为 锐 角，求 直 线l 斜
率 的 取 值 范 围。
3.已 知 中 心 在 坐 标 原 点O，焦 点 在x轴 上，长 轴 长 是 短 轴 长 的2倍 的 椭 圆 经 过 点M (2, 1) 直 线l平 行 于OM，且 与 椭 圆 交 与A!B两 个 不 同 点； （1）求 椭 圆 的 方 程 （2）若∠AOB为 钝 角，求 直 线l在y轴 上 的 截 距m的 取 值 范 围； （3）求 证 直 线M A, M B与x轴 围 城 的 三 角 形 总 是 等 腰 三 角 形。
，消 去y得x2 − 4kx − 4 = 0
于 是∆ = 16(k2 + 1) > 0恒 成 立，且x1 + x2 = 4k, x1x2 = −4，
又y1y2 = (kx1 + 1)(kx2 + 1) = k2x1x2 + k(x1 + x2) + 1 = 1, y1 + y2 = k(x1 + x2) + 2 = 4k2 + 2，