2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）设lim a n a, 且a 0, 则当n 充分大时有（）（A）a（B）a1（C）a n an1（D）a n an（2）下列曲线有渐近线的是（）（A）y x s in x（B）y x2 s in x（A）当f '(x) 0时，f x( ) g x( )（B）当f '(x) 0时，f x( ) g x( )（C）当f '(x) 0时，f x( ) g x( )（D）当f '(x) 0时，f x( )g x( )0 aa 0 （5）行列式0 c c 0bdb0 d（A）(ad bc)2（B） (ad bc)2（C）a d22 b c2 2（D）b c2 2 a d2 2（6）设a a1,2,a3 均为3 维向量，则对任意常数k,l ，向量组 1 k 3, 2 l 3 线性无关是向量组 1, 2, 3线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4（8）设X X X1, , 为来自正态总体N (0, 2) 的简单随机样本，则统计量X1X2 服从的分布为2 3 2 X（A）F（1,1）（B）F（2,1）（C）t(1）（D）t(2)二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设某商品的需求函数为Q 40 2P （P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

(10)设D是由曲线xy 10 与直线y x 0及y=2 围成的有界区域，则D 的面积为_________。

a(11)设xe2x dx ，则a _____.2x 2(12)二次积分1dy 1(e e y 2 )dx ________.yx （13） 设二次型f x x ( 1, 2, x 3) x 12 x 22 2ax x 1 3 4x x2 3 的负惯性指数为1，则a 的取值范围是_________2x（14） 设总体X 的概率密度为f x ( ; ) 3 2 x 2 ，其中 是未知参数, X X 1 , 2 ,..., X n ,为来自0 其它总体X 的简单样本，若cnxi 2是2 的无偏估计，则c = _________i 1三、解答题：15—23 小题，共94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10 分）1x2t1 t dt t e 1求极限lim x 21x ln(1 )x（16）（本题满分10 分）222 2 ，计算x sin( x y ) dxdy . 设平面区域D {(x y , )|1 x y 4, x 0, y 0}Dx y（17）（本题满分10 分）22 x满足z z 2 4(ze x cos y e ) 2x ，若设函数f (u ) 具有2 阶连续导数，z f e ( cos y ) 2 x y4f (0) 0, f '(0) 0 ，求f (u ) 的表达式。

（18）（本题满分10 分）求幂级数(n 1)(n 3)x n的收敛域及和函数。

n 0（19）（本题满分10 分）设函数f x ( ), g x ( ) 在区间[a b , ] 上连续，且f (x ) 单调增加，0 g x ( ) 1 ，证明：x（I ）0 g t dt ( ) x a x , [a b ,];a b （II ）aa g t dt ( )f x dx () b f x g x dx ()(). aa1 2 3 （20）（本题满分11 分）设A11 241 ，E 为3 阶单位矩阵。

3①求方程组Ax 0的一个基础解系；②求满足AB E 的所有矩阵B1 1 1 0 0 1（21） （本题满分11 分）证明n 阶矩阵 1 11 与 0 02 相似。

1 1 1 0 0 n（22） （本题满分11 分）设随机变量X 的概率分布为P{X=1}=P{X=2}= ，在给定X i 的条件下，随机变量Y 服从均匀分布U (0,i i )( 1,2)（1）求Y 的分布函数F Y (y ) （2）求EY（23）（本题满分11 分）设随机变量X 与Y 的概率分布相同，X 的概率分布为P X{ 0} , P X{ 1} , 且X 与Y 的相关系数XY（1）求（X，Y）的概率分布（2）求P{X+Y 1}2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）A（2）C（3）D（4）D（5）B（6）A（7）（B）（8）（C）二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.dR（9） 40 4pdp（10）n 2（11）（12）(e 1)（13）[-2,2]2 （14）5n三、解答题：15—23 小题，共94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【答案】1x[t (e2 x1) t ]dt lim 1x 2 1x ln(1 ) x1x x(e x 1) t dt2 t dtl im 1 1xxl im x (e2 1) xx1令u ,x则lim x (e2 1) xxe u 1 ul im 2u 0 ue u 1 1l imu 0 2u 2（16）【答案】2 d 2 c os sin d0 1 c os sin2 cos d 2 sin d0 cos s in 11 2cos d2 d cos0 cos s in 161 2cos d ( c os12 1 2cos d )0 cos s in 11 2cos d (2 1)0 cos s in3 1 2 d20（17）【答案】E x xf (e cos y )e cos yx2E x 2x 2 x x2 f (e cos y )e cos y f (e cos y )e cos yxE x xf (e cos y )e ( sin y )y2E x 2x 2 x x2 f (e cos y )e sin y f (e cos y )e ( cos y )y2E 2E x 2x x 2xf (e cos y )e ( 4E e cosy )e 2 2x yf (e cos y ) x 4f (e cos y )x e x cos y令e x cos y u，则f(u ) 4 f(u ) u ，2u 2u u 为任意常数) 故f (u )C e1 C e2 ,(C ,C1 24由f ( 0 ) 0, f ( 0)0,得e2u e 2u u f (u )16 16 4（18）【答案】由lim 1，得R 1n当x 1时， (n 1)(n 3)发散，当x 1时， ( 1) (n n 1)( n 3)发散，n 0 n 0故收敛域为( 11, )。

x 0时，x(n 1)( n 3)x n ( (n 3) (n 1)x dx n )n 0 n 0n 1 1 n 2( (n 3)x) ( (n 3)x )n 0 x n 0 1 x n 2 1n 3(( (n 3)xdx ) ) (( x) ) 。

x n 0 0 x n 01 x3 3x 2x23 x( ( ) ) ( 2 ) 3 s( x ) x 1 x(1 x ) (1 x )3 xx 0时，s( x ) 3，故和函数s( x ) 3 ，x ( 11, )(1 x )8（19）【答案】x x x 证明：1）因为0 g( x ) 1，所以有定积分比较定理可知，0dtg(t )dt 1dt ，即a a ax0 g(t )dt x a 。

a2）令x x a x g(t )dtF( x ) f (t )g(t )dt f (t )dta aF(a ) 0F ( x ) f ( x )g( x ) f [a a x g(t )dt ]g( x )g( x ){ f ( x ) f [a a x g(t )dt ] }x由1）可知g(t )dt x a ，a x 所以ag(t )dt x。

a由f ( x )是单调递增，可知f ( x ) f [a a x g(t )dt ] 0由因为0 g( x ) 1，所以F ( x ) 0，F( x )单调递增，所以F(b) F(a ) 0，得证。

（20）【答案】① 1,2,3,1 Tk12②B 2k113k1 1k1k2 62k2 33k2 4k2k3 12k3 1k k1,2,k3 R3k3 1k3（21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。

0, y 0,3y,0 y 1,（22）【答案】（1）F Y y41 1 1y ,1 y 2,2 21,y 2.（2）（23）【答案】（1）（2）10。