学校瑞安安阳实验中学年级九年级
姓名何家宁题目凳子为何都是四只脚
指导老师张向武
［提要部分］
家里、学校里的凳子为何都是四只脚
摘要：数学是历史最悠久的人类知识领域之一。

从远古的结绳记事到现代意义下的电子计算机的诞生；从量地测天到抽象严密的公理化体系，无不体现了数学这个最富有理性魅力的重要角色。

随着科学技术的发展，数学的应用范围日益广泛，不但在自然科学的各个分支中应用，而且在社会科学的很多分支中也有应用。

让我们在生活实践中认识数学,通过将生活实际问题抽象为数学问题，通过观察绘图计算给出答案。

同时也感受到生活中只要多观察、多思考就能发现许多问题是可以用数学的方法解决的，体会数学来源于生活！
［正文部分］
凳子为什么做成四条腿
1、在学校每当轮到值日扫地或在家帮助父母做家务扫地时，都碰到同样一个问题,就是凳子的腿总是阻碍着我们扫地,扫到那都会碰到凳子的腿，相信每位同学都扫过地吧，不知同学们有没有想过，凳子为什么做四只腿，在学了三角形的稳定性，三点能确定一个平面后，便想到给凳子的四条腿提出了几个问题？省去一条腿行不行？下面就来讨论为什么大多数的凳子都是四条腿？三条腿与四条腿有何区别？
探讨问题一：为何大多数的凳子、桌子都是四只脚？
1、四条腿的凳子比三条腿的凳子稳固
四条腿的凳子比三条腿的凳子稳固。

稳固就是人坐上去使凳子受力不均的时候人不容易翻倒。

从如下几个方面来说明。

（1）我们学习了平面几何后，知道三角形的结构最不易变形，三点能确定一个平面。

为何凳子做成四条腿？因为三角形的稳定体现在从任意的角和边施加力都不易使三角的结构被破坏和变形（相对别的图形而言）。

而在桌子的问题上可以发现桌子的受力主要是自上而下的，而不是从两边向中心的。

所以凳子的稳定性不会由三条腿组成三角型而增加。

板凳三条腿没有利用到“三角形结构最不易变形”的原理。

人坐在凳子上是前后左右活动的，人坐在凳子上的重心位置是在不断变化的，三角形的三个边，很易偏离凳子重心，如果凳子不坐人，单放实物，那么三条腿就够了。

四条腿凳子四个边，重心居中，坐人稳固性好，不容易翻倒，再说凳子四条腿也整齐好看。

实际经验证明人坐在三条腿的凳子是容易摔倒的。

（2）四条腿凳子的临界倾倒角大于三条腿凳子的临界倾倒角
四条腿凳子的临界倾倒角大于三条腿凳子的临界倾倒角，所以四条腿的凳子比三条腿的凳子稳固。

什么是临界倾倒角？以圆柱10米直径12米高的圆柱体倾倒临界点角
度为例：
设：圆柱体的重心为O，它在距底面6米的截面圆心上，又设底面圆
心为A，倾倒时与场面接触的点为B，垂线与OB重合时，圆柱母线
与水平线构成的夹角即为倾倒临界点角度，所以，倾倒临界点角度
α=90-∠AOB
tan∠AOB=OA/OB=5/6, ∠AOB=39.8°
α=90°-39.8°=50.2°
四条腿凳子与三条腿凳子的临界倾倒角证明如下：
设：三只脚的凳子和四只脚的凳子的高度相同，均为h，平面的半径
都为R，且腿与凳子的平面垂直成90°角,人坐上去的重心高度均为
g+h,则
（1）当凳子为三只脚时，OD=R·sin30°=R/2=OB（如下图1）
GB=g+h, 又∵△OBA∽△BGO
∴∠a =∠β
∴tan a1 = OB:GB=R:2(h+g)(设凳子三只脚的临界倾倒角为a)
（2）凳子四条腿时，OD= 2 R/2（如下图3所示）
同理可得：
tan a2= OB:GB=R/[ 2 （h+g） ]＞R/2（h+g）＞tan a1
βα
B A O
G
∴a 2＞a 1即四条腿临界倾倒角大于三条腿临界倾倒角
故：相同高度的四条腿凳子比三条腿凳子更稳定。

无论凳子腿怎么排列，凳子的最小临界倾倒角和凳子所有腿之间形成
的凸多边形中与其重心投影最接近相邻两条腿的连线到重心投影线
的距离正相关，脚越多越稳定，圆柱形脚最稳定。

图1 图2
图3
（3）、三条腿的凳子使它翻倒的力矩要大于四条腿凳子的力矩
三条腿的凳子使它翻倒的力矩要大于四条腿凳子的力矩，也就是更容
易翻倒一些。

现以凳子的平面为圆形为例，如下图4，凳子的腿为支
点，当人坐在凳子上的重心在移动时，圆弧的边也受到人的重力的压
力，最危险的是当人的重心移到接近圆弧边A 点的位置时，A 点到凳
子的腿为支点的B 点的距离AB 为翻倒动力臂，动力臂越长越容易翻
倒，三条腿的动力臂比四条腿的动力臂长如上图下图4、图5所示的
AB ，所以同样人的重力，三条腿凳子的力矩大，更容易翻倒。

30°D
C O
A
E
B
图4 图5
（4）凳子以离投影中心最近的相邻两条腿的连线为翻倒轴，三条腿
的凳子比四条腿的凳子容易翻倒
如上图4所示，以两条腿的支点CB为翻倒轴，显然凳子的中心O 点到翻倒轴CB的距离OD越长越稳固，A点到CB的距离AD动力臂越短越稳固，动力臂短承受的动力就大，当人的重心向A处移动时就不易翻倒。

实践经验证明：四条腿的凳子若缺了一条腿后，有两条腿的连线经过其投影中心，如上图5所示其翻倒轴为BF，若人坐在C点附近的位置,C点到BF的动力臂就延长为圆的半径，这样的凳子相当容易翻倒。

除非你侧着一角坐（相当于把重心偏向一边）。

生活中最常见的确实是四条腿的板凳；石油井架、高压线塔架等也是四条腿支撑的支架结构，只是侧面使用了大量的三角形结构。

（5）通过实验证明：在《折形状》一课中，曾经通过实验证明了三棱柱纸筒、四棱柱纸筒、六棱柱纸筒、圆柱形纸筒的承受力是由小到大的。

因为圆柱体没有角，任何加在上面的重量都会均匀地分布，所以，圆柱上的每一个点承受力并不大，而整体却能承受比较大的力。

而其它棱柱都有角，不能把加在上面的重量均匀地分散开，所以每一个点承受的力都比较大，整体不能承受太大的力。

也就是说，四条腿比三条腿的板凳承受力大，相应地比三条腿的稳定。

探讨问题二：为何在市场上偶尔会看到三条腿的小凳子？
1、由以上证明得知，凳子、桌子的稳定性即临界倾倒角的大小跟平面半径的大小有关，凳子的平面半径越大，三只脚所组成的三角形越不对称，凳子越不稳定。

因为凳子的倾倒角与凳子的中心投影与最近
的相邻两条腿的连线的距离有关，平面半径越大，三角形和四边形中心投影与最近的相邻两条腿的连线的距离相差越大，即上图中三角形的OD1=R/2，四边形中的OD2= 2 R,半径R越大OD2与OD1的差就越大, 所以大的桌椅绝对不能做成三只脚，在市场上没有看到大椅子是三条腿的原因，只有很小凳子，OD2与OD1的差不大，为了节省材料才有三条腿的小凳子。

探讨问题三：为何高度较高的四条腿的凳子接触地面的四条腿所围成的面积比凳面的四条腿所围成的面积大？
由以上（1）证明得知凳子的稳定性即临界倾倒角的大小跟凳子的高度h、凳面的半径有关，tan a1= R: 2 (h+g)，h越大，倾倒角越小，凳子越不稳定，所以凳面小，而高度高的凳子，为了增加稳定度，加大接触地面的四条腿所围成的面积，即增大临界倾倒角中的OD，而且腿的中间要加两条横条，即在四边形的对角线上加两条横条，组成四个三角形，以免人坐上去的重力太大，使凳腿向外变形。

探讨问题四为何照相机的固定架做成三条腿，不做四条腿
1、照相机的三脚架的三条腿是从一个点出发的三条腿,而凳子的
腿是从一个面上的不同的点上发出的三条腿,严格上它不是搭的
一个三角支架,是一个三棱体,科学书上所谓的三边形柱体。

而四条腿的椅子则是四边形柱体，人要坐在上面比较稳定性,其实就是不同柱体的承受力，跟照相机三角形支架是不同的概念。

这里的
稳定指的是承受力越强越稳定。

2、照相机的三脚架使用在不同的地方，有可能三脚架是支在不同
的平面上，这三脚架就能确定一个平面，三脚架支撑的是静止的照相机，并且三条腿是可以调节长短来达到支撑平面与地面的平行，所以照相机的三脚架可使用在不同的场合。

而凳子支撑的是随时在移动的人，而且腿的长短是固定不变的，若凳子使用在地面不平的场合，三条腿的凳子能确定一个平面，但凳子的平面会倾斜，如上图4所示，最危险的是若E点的凳脚支撑面高于其他的两只脚，而人坐在BC弧的一边，由以上证明（4）得知，三条腿就容易翻倒，而四条腿的凳子有一条腿与其他的脚不一样时，还有其他的三条腿，四条腿能组成四个三角形来支撑四个平面，所以凳子四条腿比三条腿更实用。

总结与思考：
通过证明，同面积的凳子四条腿比三条腿稳定，腿越多越稳定，圆柱体的腿的凳子最稳定，但为了节省材料，一般日常家具只用四条腿就够了。

通过仔细观察分析，生活蕴藏着许多深奥的数学和科学知识，就像凳子为何不做成三条腿一样，我们可从几何的角度分析，也可从力学的角度分析。

数学能应用到日常生活的各个主面，只要我们仔细观察，就会发现数学与生活的完美结合，就能学好数学，爱上数学。

通过这次探究，我更确信，生活中到处都是数学。

数学不仅仅是课内一门重要的学科，更是社会生活中不可缺少的分子。

因为数学知
识在生活中的科学应用，很多的事件才得以完善，因为数学的存在，我们才找到了更多的更巧妙的解决问题的方法。

30°
45°j
D
F。