习题课导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递________f′(x)<0单调递________知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．知识点三函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．类型一数形结合思想的应用例 1 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________．反思与感悟解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．跟踪训练1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是________．类型二 构造函数求解命题角度1 比较函数值的大小例2 已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f xx<0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系是________．反思与感悟 本例中根据条件构造函数g (x )＝xf (x )，通过g ′(x )确定g (x )的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．跟踪训练2 设a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是________．命题角度2 求解不等式例3 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )<f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )>2e x的解集为________．反思与感悟 根据所求结论与已知条件，构造函数g (x )＝f xex，通过导函数判断g (x )的单调性，利用单调性得到x 的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )为其导函数．当x >0时，f (x )＋x ·f ′(x )>0，且f (1)＝0，则不等式x ·f (x )>0的解集为________．命题角度3 利用导数证明不等式 例4 已知x >1，证明不等式x －1>ln x .反思与感悟利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式；(2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出；(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．跟踪训练4 证明：当x>0时，2＋2x<2e x.类型三利用导数研究函数的极值与最值例5 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．反思与感悟(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练5 已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________．(填序号)2．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为________． 3．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________． 4．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，下列式子判断正确的是________． ①f (x )g (x )>f (b )g (b )；②f (x )g (a )>f (a )g (x )； ③f (x )g (b )>f (b )g (x )；④f (x )g (x )>f (a )g (a )． 5．已知x >0，求证：x >sin x .导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．提醒：完成作业第3章习课题答案精析知识梳理 知识点一 增 减 知识点二(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 知识点三2．极值 f (a )，f (b ) 最大 最小 题型探究例1 ④ 跟踪训练1 ① 例2 b <c <a 跟踪训练2 a >b >c 例3 (0，＋∞) 跟踪训练3 (1，＋∞)例4 证明 设f (x )＝x －1－ln x ，x ∈(1，＋∞)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，因为x ∈(1，＋∞)， 所以f ′(x )＝x －1x>0， 即函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 又x >1，所以f (x )>f (1)＝1－1－ln 1＝0， 即x －1－ln x >0，所以x －1>ln x . 跟踪训练4 证明 设f (x )＝2＋2x －2e x， 则f ′(x )＝2－2e x ＝2(1－e x)． 当x >0时，e x >e 0＝1， ∴f ′(x )＝2(1－e x)<0.∴函数f (x )＝2＋2x －2e x在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，x ∈(0，＋∞)． 即当x >0时，2＋2x －2e x<0， ∴2＋2x <2e x.例5 解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2， 得f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上，f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，t ) tf ′(x ) 0 － 0 ＋ ＋f (x )2↘－2↗t 3－3t 2＋2f (x )min ＝f (2)f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个．因为f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0， 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， 则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．当x ∈[1,2)时，g ′(x )<0；当x ∈(2,3]时，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0，g 2<0，g 3≥0，解得－2<c ≤0.即实数c 的取值范围为(－2,0]．跟踪训练5 解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称， 则f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3＋(a －1)x 2－48(a －2)x ＋b ＝－ax 3－(a －1)x 2－48(a －2)x －b ， 于是2(a －1)x 2＋2b ＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，b ＝0，解得a ＝1，b ＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－48x ，∴f ′(x )＝3x 2－48＝3(x ＋4)(x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－4，x 2＝4； 令f ′(x )<0，得－4<x <4；令f′(x)>0，得x<－4或x>4.∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，f(x)极小值＝f(4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，则f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，∴函数的最大值为－47，最小值为－128.当堂训练1．③ 2.－37 3.(－∞，12) 4.③5．证明设f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是单调增函数，又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴x>sin x(x>0)．。