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课时跟踪检测 (三十一) 任 意 角

课时跟踪检测(三十一)任意角层级(一)“四基”落实练1.下列命题正确的是()A.第一象限的角都是锐角B.小于90°的角是锐角C.2 019°是第三象限的角D.2 019°是第四象限的角解析:选C当α=390°时,位于第一象限,但α=390°不是锐角,故A错误;α=0°<90°但α不是锐角,故B错误;2019°=5×360°+219°,∵219°是第三象限角,∴2019°是第三象限的角,故C正确,D错误,故选C.2.在0°到360°范围内,与角-120°终边相同的角是()A.120°B.60°C.180°D.240°解析:选D∵与-120°终边相同角的集合为{α|α=-120°+k·360°,k∈Z}.取k=1,可得在0°到360°范围内,与角-120°终边相同的角是240°.3.已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是()A.第一象限角B.第一、二象限角C.第一、三象限角D.第一、四象限角解析:选C由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°+k·180°(k ∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),所以α在第一象限;当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),所以α在第三象限.故α是第一或第三象限角.4.若角α=m·360°+60°,β=k·360°+120°,m,k∈Z,则角α与β的终边的位置关系是()A.重合B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称解析:选Dα的终边和60°的终边相同,β的终边与120°的终边相同,∵180°-120°=60°,∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称.5.(多选)如果角α与角γ+45°的终边重合,角β与角γ-45°的终边重合,那么α-β的可能值为()A.90°B.360°C.450°D.3 330°解析:选ACD由条件知α=γ+45°+k1·360°(k1∈Z),β=γ-45°+k2·360°(k2∈Z).将两式相减消去γ,得α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k∈Z).当k=0时,α-β=90°;当k=1时,α-β=450°;当k=9时,α-β=3 330°,故选A、C、D.6.若角α=2 020°,则与角α具有相同终边的最小正角为________,最大负角为________.解析:∵2 020°=5×360°+220°,∴与角α终边相同的角的集合为{α|α=220°+k·360°,k∈Z},∴最小正角是220°,最大负角是-140°.答案:220°-140°7.已知α满足180°<α<360°,5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么α=________.解析:由题意知5α=α+k·360°,k∈Z,∴α=k·90°,k∈Z.又∵180°<α<360°,∴α=270°.答案:270°8.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B等于__________________.解析:因为A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},所以当k=-1时,α=-126°;当k=0时,α=-36°;当k=1时,α=54°;当k=2时,α=144°.又B={β|-180°<β<180°},所以A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.答案:{-126°,-36°,54°,144°}9.在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角:(1)549°;(2)-60°;(3)-503°36′.解:(1)549°=189°+360°,而180°<189°<270°,因此,549°角为第三象限角,且在0°~360°范围内,与189°角有相同的终边.(2)-60°=300°-360°,而270°<300°<360°,因此,-60°角为第四象限角,且在0°~360°范围内,与300°角有相同的终边.(3)-503°36′=216°24′-2×360°,而180°<216°24′<270°,因此,-503°36′角是第三象限角,且在0°~360°范围内,与216°24′角有相同的终边.10.已知角α=45°.(1)在-720°≤β≤0°范围内找出所有与角α有相同终边的角β;(2)集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x =k 2·180°+45°,k ∈Z , N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =k 4·180°+45°,k ∈Z ,那么两集合的关系是什么? 解:(1)由题意知:β=45°+k ·360°,k ∈Z ,则令-720°≤45°+k ·360°≤0°,解得-765360≤k ≤-45360, 从而k =-2或k =-1,故β=-675°或 β=-315°.(2)因为M ={x |x =(2k +1)·45°,k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合,而集合N ={x |x =(k +1)·45°,k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而M N .层级(二) 素养提升练1.角α=-60°+k ·180°(k ∈Z )的终边落在( )A .第四象限B .第一、二象限C .第一象限D .第二、四象限解析:选D 令k =0,α=-60°,在第四象限;再令k =1,α=-60°+180°=120°,在第二象限.2.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么α∈________.解析:在0°~360°范围内,终边落在阴影内的角α满足30°<α<150°或210°<α<330°,所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|2k·180°+30°<α<2k·180°+150°,k∈Z}∪{α|(2k+1)180°+30°<α<(2k+1)·180°+150°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.答案:{α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}3.终边落在直线y=3x上的角α的集合为____________.解析:如图所示,终边落在射线y=3x(x≥0)上的角的集合是S 1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},终边落在射线y=3x(x≤0)上的角的集合是S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.于是终边落在直线y=3x上的角的集合是S={α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.答案:{α|α=60°+n·180°,n∈Z}4.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.解:由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°. ①∵α-β=670°+k·360°,k∈Z,α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°. ②由①②,得α=15°,β=65°.5.已知α为第二象限角,试判断α3是第几象限角?解:∵α是第二象限角,∴90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,∴30°+k·120°<α3<60°+k·120°,k∈Z.当k =3n ,n ∈Z 时,30°+n ·360°<α3<60°+n ·360°,n ∈Z ,此时α3为第一象限角; 当k =3n +1,n ∈Z 时,150°+n ·360°<α3<180°+n ·360°,n ∈Z ,此时α3为第二象限角; 当k =3n +2,n ∈Z 时,270°+n ·360°<α3<300°+n ·360°,n ∈Z ,此时α3为第四象限角. ∴α3为第一、第二或第四象限角.。

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