2015年高考天津市理科数学真题一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合U A C B=（ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．10-B ．6C ．14D ．184．设x R ∈，则“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，N M ，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点N M ，，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ） A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221x y a b-=（0b 0a ＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则b c a ，，的大小关系为（ ）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜8．已知函数22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7()4+∞， B ．7()4-∞，C ．7(0)4，D ．7(2)4，二、填空题9．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ． 13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 ．14．在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒。
动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ==，则AE AF ⋅的最小值为 ． 三、解答题15．已知函数22(x)sin sin ()6f x x π=--，x R ∈．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内的最大值和最小值． 16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。
现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名。
从这8名运动员中随机选择4人参加比赛。
（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．（Ⅰ）求证：MN 平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱11A B 上的点。
若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长。
18．已知数列{}n a 满足2n n a qa +=（q 为实数，且1q ≠），*n N ∈，11a =，22a =，且21a a +，34+a a ，45+a a 成等差数列。
（Ⅰ）求q 的值和 {}n a 的通项公式； （Ⅱ）设222-1log nn n a b a =，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和． 19．已知椭圆22221(b 0)x y a a b +=＞＞的左焦点为(,0)F c -，，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆2224b x y +=截得的线段的长为c，||3FM =．（Ⅰ）求直线FM 的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围。
20．已知函数(),,nf x nx x x R =-∈其中*n N ∈，且2n ≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =， 求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（Ⅲ）若关于x 的方程()f x a =（a 为实数）有两个正实数根12x x ，，求证：2121ax x n-<+-． 2015年高考天津市理科数学真题答案一、选择题 1．答案：A解析过程：{2,5,8}UB =,所以{2,5}UAB =，选A2．答案：C解析过程：不等式20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18，选C 3．答案：B解析过程： 输入20,1S i ==；21,20218,25i S =⨯=-=>不成立； 224,18414,45i S =⨯==-=>不成立 248,1486,85i S =⨯==-=>成立输出6,选B 4．答案：A解析过程：|2|112113x x x -⇔--⇔＜＜＜＜＜，22021x x x x +-⇔＞＜-或＞所以“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的充分不必要条件，选A 5．答案：A解析过程： 由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅， 所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，选A6．答案：D解析过程：双曲线22221x y a b -=（0b 0a ＞，＞）的渐近线方程为by x a=±，由点(2在渐近线上，所以2b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =准线方程x =所以c =2,a b ==，所以双曲线方程为22143x y -=，选D 7．答案：C解析过程： 因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭所以c a b <<，选C 8．答案：D解析过程：由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩ ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.选D 二、填空题 9．答案：-2解析过程：()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =- 10．答案：83π解析过程：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1， 高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥， 所以该几何体的体积22181221133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. 11．答案：16解析过程：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)， 所以它们所围成的封闭图形的面积()122301111()0236S x x dx x x =-=-=⎰.12．答案：解析过程：61()4x x-展开式的通项为 66216611()()44r r r r r rr T C x C x x --+=-=-，由622r -=得r=2，所以222236115()416T C x x =-=，所以该项系数为151613．答案：8 解析过程：因为0A π<<，所以sin A ==，又1sin 2428ABC S bc A bc ∆===∴=， 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264()644a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以8a =. 14．答案：2918解析过程： 因为1,9DF DC λ=12DC AB =， 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， 三、解答题15．答案：（Ⅰ）π；，最小值12- 解析过程： （Ⅰ）解：由题意得=111(cos 22)cos 2222x x x +- 所以，()f x 的最小正周期22T ππ== （Ⅱ）解：因为()f x 在区间,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数， 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，1()34f π-=-，1()62f π-=-，()44f π=.所以，()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为12-. 16．答案：（Ⅰ）635；（Ⅱ）见解析 解析过程：（Ⅰ）解：由题意得22222333486()35C C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为635. （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. 所以，随见变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 17．答案：见解析 解析过程：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)A ,(0,1,0),B (2,0,0)C ,(1,2,0)D -,1(0,0,2)A ,1(0,1,2),B 1(2,0,2),C (1,2,2)D -.又因为M,N 分别为1B C 和1D D 的中点，得1(1,,1)2M ,(1,2,1)N -. （Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量.MN =5(0,,0)2-.由此可得0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ． （Ⅱ）解：1(1,2,2)AD =-，(2,0,0)AC =． 设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110,0,n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =.．设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的法向量，则1110,0,n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 又1AB (0,1,2)=，得20,20.y z x +=⎧⎨=⎩不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-．因此有12121210cos ,10n n n n n n ==-，于是12310sin ,n n =． 所以，二面角11D AC B --的正弦值为10。