陶鑫高中数学
拉格朗日乘数法
对于给定二元函数(,)zfxy和附加条件(,)0xy，为寻找(,)zfxy在附加条件下的
最值，先构造拉格朗日函数(,)(,)(,)Lxyfxyxy，其中为参数．然后分解为几个不
同部分，同时利用不等式求最值，再利用等号成立条件求出参数的值回代即可．
范例：已知axbyk，其中a，b，x，y均为正数，求dexy最小值．
步骤：构造拉格朗日函数()(0)deLaxbykxy，
则()()deLaxbykadbckxy≥22，
当且仅当daxx，ebyy时即,dcxyab=时L取得最小值．
例3已知11112xyz，其中x，y，z均为正数，求222xyz得最小值．
解答：解法一：
1
2224()
2
xyzxyz
111
4()()xyz
xyz
4(3)
xxyyzz
yzxzxy
4(3)
xyxzyz
yxzxzy
4(3222)36≥
，
当且仅当6xyz时等号成立，
所以222xyz得最小值为36．
解法二：
1111
222222()
2
xyzxyz
xyz
(2)(2)(2)62
22
xyz
xyz
≥
，
当且仅当26xyz时等号成立，
所以222xyz得最小值为36．
变式1已知正数a，b满足1ab，求证：228127ab≥．
解答：解法一引入常数(0)，
2222
8181
2(1)ab
abab
=
22
81
()()2aabb
ab
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33
22
3832≥
当且仅当28aa，21bb时等号成立，
即32a，31b，
又因为1ab，所以33211，
所以27．所以228127ab≥．
变式2：已知正数a，b满足1ab，求
3
3
3
a
b
的最小值．
解答：解法一：引入常数(0)，
则
333
333
(1)()()
333
aaa
bbababb
．
考虑函数
3
()
3
t
ftt
，
2
()ftt
，
当t时，()ft取得最小值．
考虑函数
3()gttt，2
()3gtt
，
当3t时，()gt取得最小值．
因为1ab，所以13，所以331，
所以当331a，131b，
3
3
3
a
b
的最小值为
2
123
2
(31)
．
解法二：构造函数
3
3
()(1),(0,1)
3
x
fxxx
．
因为
22
()3(1)fxxx
，
所以()fx在区间23(0,)2上单调递增，
在区间23(,1)2上单调递减，
所以()fx在332x时取得最小值．
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33
13333
()()(1)
322
fx
3
33
333131(31)(31)
()()
3228
22
(31)(31)(31)2(31)
88
2
2(31)23
82
．
此外，对于给定二元函数(,)zfxy和附加条件(,)0xy，为寻找(,)zfxy在附加条
件下的极值点，先构造拉格朗日函数(,)(,)(,)Lxyfxyxy，其中为参数，求(,)Lxy的
对x和y的一阶偏导数，令它们等于零,并与附加条件联立，解得(,)xy，(,)xy就是函数在附
件条件下的可能极值点．