首先假设区域化变量 Z ( x)满足二阶平稳假 设和本征假设，其数学期望为 m ，协方差函数 及变异函数 c(h) 存在。 (h) 即
E[Z ( x)] m
c(h) E[Z ( x)Z ( x h)] m2
1 (h) E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 2
10.3 10.5 10.9 11.2
4.9
5.1 6.2 7.5 9.5
8.8
3.8
12.4
9.8
从上面的介绍和讨论，我们知道，球状 变异函数的一般形式为
0 3h h 3 (h) c 0 c( 3 ) 2a 2a c 0 c h0 0ha ha
当 0 h a 时，有
11 12 21 22 K n1 n 2 1 1 1n 2n nn 1 1 1 , 1 0 1 2 , n ( x1 , x) ( x , x) 2 D ( x , x ) n 1
2 E i 1 j 1 i 1 n n n
(4.2.24) 为使估计方差最小，根据拉格朗日乘数原 理，令 n 2 F E 2 ( i 1) (4.2.25) i 1 求F对 i 和 的偏导数，并令其为0，得克 立格方程组
n F 2 j c( xi , x j ) 2c( xi , x) 2 0 j 1 i n F 2( 1) 0 i i 1
K D
(4.2.34)
(4.2.35) K 1 D 2 (4.2.36) K T D ( x, x) 在以上的介绍中，区域化变量 Z ( x) 的数学 期望E[Z ( x)] m可以是已知或未知的。如果m是 已知常数，称为简单克立格法；如果m是未 知常数，称为普通克立格法。不管是哪一种 方法，均可根据方法计算权重系数和克立格 估计量。
3c c ( h) c 0 ( ) h ( 3 ) h 3 2a 2a
3c 1 c ,b , x h, x h ，则可以 如果记 y (h), b c , b 2 a 2a 得到线性模型 y b0 b1 x1 b2 x2 (4.2.19)
(4.2.29)
解线性方程组 (4.2.27) 式，求出权重系数 和拉格朗日乘数μ ，代入公式(4.2.24)，可得克立 格估计方差 ，即
2 K i ( xi , x) ( x, x) i 1 n
(4.2.30矩阵形式。令
* Z0 0.287Z ( x1 ) 0.210Z ( x2 ) 0.202Z ( x3 ) 0.473Z ( x4 )
0.287 37 0.210 42 0.202 36 0.473 35 37.25（mm）。
3 0 0 1 2 3 1 2
根据表中的数据，对上式进行最小二乘拟合
它是一种数学上的近似和优化，利用已知的数据得 出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之 间的距离的平方和最小。，得到
y 2.048 1.731x1 0.007 92x2
(4.2.20)
比较 (4.2.20) 式与 (4.2.19) 式，并做简 单计算可知： c0=2.048 ， c=1.154 ， a=8.353 ， 所以，球状变异函数模型为
地统计（Geostatistics）又称地质统计，它是以区域化变
量为基础，借助变异函数，研究既具有随机性又具有结构 性，或空间相关性和依赖性的自然现象的一门科学。凡是 与空间数据的结构性和随机性，或空间相关性和依赖性， 或空间格局与变异有关的研究，并对这些数据进行最优无 偏内插估计，或模拟这些数据的离散性、波动性时，皆可 应用地统计学的理论与方法。 地统计方法的条件：(1)随机过程 (2)正态分布 （3)平稳性： ①均值平稳 ②协方差函数有关的二阶平稳和与半变异函数有关的内蕴 平稳 Kriging 插值的条件：变异函数和相关分析的结果表明区域 化变量存在空间相关性。
1
0.952 0.287 0.711 0.210 0.571 0.202 0 . 870 0 . 301 1 0.473
即 克 立 格 权 重 系 数 分 别 为 ： λ1=0.287 ， λ2=0.210,λ3=0.202,λ4=0.301 ， μ= -0.473 ，所以观 测点的降水量的克立格估计值为：根据普通克立格 法的基本原理，我们知道， Z(x0) 估计的基本公式 应该是
2 σE c( x, x) i c( xi , x) i 1
n
(4.2.28)
上述过程也可用矩阵形式表示，令
c11 c 21 K cn1 1 c12 c1n c22 c2 n cn 2 cnn 1 1 1 1 , 1 0 1 2 , n c( x1 , x) c ( x , x ) 2 D c ( x , x ) n 1
克里格插值基础
克里格方法概述
克里格方法（Kriging）又称空间局部插值法， 是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限 区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种 方法，是地统计学的主要内容之一。其实质是 利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构 特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计。 无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值 与实际值之差的平方和最小。
c24 c42 3.202 ( 32 2 2 ) 0.466
c 01 3.202 ( 12 ) 0.952
c 03 3.202 ( 3 2 ) 0.571
将以上计算结果代入克立格方程组 （4.2.31 ），得
1 3.202 0.870 2 3 0.542 4 0.711 1 0.870 3.202 0.601 0.466 1 0.542 0.601 3.202 0.383 1 0.711 0.466 0.383 3.202 1 1 1 1 1 0
c13 c31 3.202 ( 3 2 12 ) 0.542
c14 c 41 c 02 3.202 ( 2 2 12 ) 0.711
c 23 c32 3.202 ( 2 2 2 2 ) 0.601
c34 c 43 3.202 ( 4 2 12 ) 0.383
(1)无偏性。要使 Z * ( x) 成为 Z ( xi ) 的无偏估计量， 即
E[Z * ( x)] E[Z ( x)]
当 E[Z ( x)] m 时，也就是当 E [ i Z ( xi )] i E[Z ( xi )] m i 1 i 1 时，则有
n
n

i 1
0 3 3 h 1 h * (h) 2.048 1.154( ) 3 2 8.535 2 8.535 3.202
(4.2.21)
h0 0 h 8.535 h 8.535
4个观测点x1，x2，x3，x4的观测值分别为 Z(x1)=37、Z(x2)=42、Z(x3)=36、Z(x4)=35，如果 假设降水量的变异函数是向同性（即变异函数 在各个方向的变化都相同）的二维球状模型， 其具体形式为（4.2.21）式。现在，我们用普 通克立格法估计观测点x0的降水量值Z(x0)。
(4.2.26)
整理后得
n j c( xi , x j ) c( xi , x) j 1 n i 1 i 1
(4.2.27)
解线性方程组(4.2.27)式,求出权重系数λ i和拉格朗日系数μ ,代入公 式(4.2.24),可得克立格估计方差
假设在待估计点（x）的临域内共有n个 实测点，即x1，x2 ，… ，xn ，其样本值为 Z ( xi )。 那么，普通克里格法的插值公式为
Z * ( x) i Z ( xi )
i 1 n
(4.2.22)
其中 i 为权重系数 ，表示各空间样本点 x i 处的观测值Z ( xi ) 对估计值Z * ( x) 的贡献程度。 可见，克立格插值的关键就是计算权重 系数 i 。显然，权重系数的求取必须满足两个 条件： 一是使Z * ( x)的估计是无偏的，即偏差的 数学期望为零； 二是最优的，即使估计值 Z * ( x) 和实际值Z ( xi ) 之差的平方和最小。 为此，需要满足以下两个条件：
图10.26 克里格方法流程 图
例如:某地区降水量是一个区域化变量，其变 异函数 (h)的实测值及距离h的关系见下表， 下面我们试用回归分析方法建立其球状变异 函数模型。
实测值γ(h) 距离h 实测值γ(h) 距离h
2.1
4.3 5.7 6.5 7.8
0.6
1.1 2.2 2.5 3.1
9.2
克里格插值基础
2.克里格方法的具体步骤
导入数据 进行预测
数据分析
否
计算克里格系数 数据变换
是否服从 正态分布 是 是否存 在趋势 否 根据数据选择 合适的方法
拟合理论半变 异函数图 绘制经验半变 异函数图
是 泛克里格方法
绘制方差变 异云图 按组统计平均距离 及对应的平均方差 按距离分组
计算样点间的 距离矩阵 计算样点间的 属性方差
n
i
1
这时， Z * ( x) 为Z ( xi ) 的无偏估计量。
（2）最优性。在满足无偏性条件下，估计方差
为
E[Z ( x) Z ( x)] E[Z ( x) i Z ( xi )] 2
2 E * 2 i 1 n
使用协方差函数表达，它可以进一步写 为