考研专硕管理类数学中的至多至少问题
专硕管理类数学中有一类应用题，可简单称之为至多至少应用题，经常会给考生带来极大的困惑。

下面这五道题全部都是考过的真题，这里做一个简单的归类评析，希望能对考生有所助益。

这种题型用到的知识并不多，很多时候要求考生必须保持足够冷静和清晰的头脑。

1.已知三种水果平均10元/千克，则三种水果单价均不超过18元/千克. ( D )
(1)这三种水果中最低单价为6元/千克
(2)买三种水果各1千克、1千克、2千克，共花费46元。

2.某年级共有8个班，在一次年级考试中，共有21名学生不及格，每班不及格的学生最多有3名，则(一)班至少有1名学生不及格( D )
(1)(二)班的不及格人数多于(三)班
(2)(四)班不及格的学生有2名
评析：上述两题属此类题中比较简单的类型，但若考生初次遇到，仍然容易做错，不需要列方程，只要认真思考，容易得出答案。

3.某单位年终共发了100万元奖金，奖金金额分别为一等奖1.5万元，二等奖1.0万元，三等奖0.5万元，则该单位至少有100人( B )
(1)得二等奖的人数最多
(2)得三等奖的人数最多
4.甲班共有30名学生，在一次满分为100分的考试中，全班平均成绩为90分，则成绩低于60分的同学至多有( B )个
(A)8
(B)7
(C)6
(D)5
(E)48
评析：上述两题在至多至少问题中难度居中，但想拿到分数已经相当不易。

3题应先根据题意列出不定方程推导，由此推断方程成立需要的条件，再从条件中去找。

4题设定极端值，设高分全是100分，低分全部只是低于60分，列出不等式，推导人数。

5. 某学生在军训时进行打靶测试，共射击10次。

他的第6、7、8、9次射击分别射中9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击的平均环数高于前5次的平均环数。

若要使10次射击的平均环数超过8.8环，则他第10次射击至少应该射中( E )环?(打靶成绩精确到
0.1环)
(A)9.0 (B)9.2 (C)9.4 (D)9.5 (E)9.9
评析：这道题是目前难度最大的一道至多至少题，要在考场时间内做对相当困难，各个数字之间相互制约，一句话分析不到位就做不出来，几乎只能依靠蒙猜大法，前九环全部设成8.7环，推断第十环。

这类题还有很多，比如下面的这道题，供同学们练习。

例：某社团共有46人，其中40人爱好戏剧，38人爱好体育，35人爱好写作，30人爱
好收藏，这个社团至少有( A )人以上四项活动都喜欢。

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (E)4
凯程教育老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。

总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。

1.制定详细周密的学习计划。

这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。

努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。

我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。

当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。

以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。

那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。

并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。

方法一：规划进度。

分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。

方法二：互相监督。

和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共同进步。

方法三：定期考核。

定期对自己复习情况进行考察，灵活运用笔试、背诵等多种形式。

2.分配好各门课程的复习时间。

一天的时间是有限的，同学们应该按照一定的规律安排每天的学习，使时间得到最佳利用。

一般来说上午的头脑清醒、状态良好，有利于背诵记忆。

除去午休时间，下午的时间相对会少一些，并且下午人的精神状态会相对低落。

晚上相对安静的外部环境和较好的大脑记忆状态，将更有利于知识的理解和记忆。

据科学证明，晚上特别是九点左右是一个人记忆力最好的时刻，演员们往往利用这段时间来记忆台词。

因此，只要掌握了一天当中每个时段的自然规律，再结合个人的生活学习习惯分配好时间，就能让每一分每一秒都得到最佳利用。

方法一：按习惯分配。

根据个人生活学习习惯，把专业课和公共课分别安排在一天的不同时段。

比如：把英语复习安排在上午，练习听力、培养语感，做英语试题;把政治安排在下午，政治的掌握相对来说利用的时间较少;把专业课安排在晚上，利用最佳时间来理解和记忆。

方法二：按学习进度分配。

考生可以根据个人成绩安排学习，把复习时间向比较欠缺的科目上倾斜，有计划地重点复习某一课程。

方法三：交叉分配。

在各门课程学习之间可以相互穿插别的科目的学习，因为长时间接受一种知识信息，容易使大脑产生疲劳。

另外，也可以把一周每一天的同一时段安排不同的学习内容。

凯程教育：
凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。

凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；
凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里；
信念：让每个学员都有好最好的归宿；
使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；
激情：永不言弃，乐观向上；
敬业：以专业的态度做非凡的事业；
服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。

如何选择考研辅导班：
在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。

判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。

还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。

凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。

而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。

在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。

在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。

对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。

最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。

例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。

有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。

凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。

此外，最好还要看一下他们的营业执照。