题图 第三章机械振动一、选择题1．质点作简谐振动，距平衡位置2。
0cm 时，加速度a=4.0cm 2/s ,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ C ）A: B: C: D: 解： sT t T xa x a 2.2422,2222,22===∴=====ππωπωω2．一个弹簧振子振幅为2210m -⨯,当0t =时振子在21.010m x -=⨯处，且向正方向运动，则振子的振动方程是：[ A ]A ：2210cos()m 3x t πω-=⨯-；B ：2210cos()m 6x t πω-=⨯-； C ：2210cos()m 3x t πω-=⨯+；D ：2210cos()m 6x t πω-=⨯+；解：由旋转矢量可以得出振动的出现初相为：3π-3．用余弦函数描述一简谐振动，若其速度与时间（v —t ）关系曲线如图示，则振动的初相位为：[ A ]A ：6π；B ：3π；C ：2π ；D ：23π；E ：56π解：振动速度为：max 0sin()v v t ωϕ=-+0t =时，01sin 2ϕ=，所以06πϕ=或056πϕ= 由知图，0t =时，速度的大小是在增加，由旋转矢量图知，旋转矢量在第一象限内，对应质点的运动是由正最大位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的，旋转矢量在第二象限内，对应质点的运动是由平衡位置向负最大位移运动，速度是逐渐减小的，所以只有06πϕ=是符合条件的。
4．某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移1毫米，测得此钟每分快0。
1秒，则此钟摆的摆长为（ B ）A:15cm B:30cm C:45cm D:60cm解：单摆周期 ,2glT π=两侧分别对T ，和l 求导，有： cm mm T dT dl l l dl T dT 3060)1.0(2121,21=-⨯-==∴=二、填空题1．有一放置在水平面上的弹簧振子。
振幅 A = ×10－2m 周期 T = ,根据所给初始条件,作出简谐振动的矢量图 , 并写出振动方程式或初位相。
(1) 0t =时物体在正方向端点，其振动方程为22.010cos 4x t π-=⨯（2）0t =物体在负方向端点，其初位相为 π （3）0t =物体在平衡位置，向负方向运动， 其初位相为 /2 π（4）物体在平衡位置，向正方向运动，其初位相为 3/2 π （5）物体在 x = ×10－2m 处向负方向运动，其初位相为 /3 π（6）物体在 x = ×10－2m 处向正方向运动，其初位相为5/3π2．一竖直悬挂的弹簧振子，平衡时弹簧的伸长量为x 0 ，此振子自由振动的周期为解：0mg kx =，22T ππ== 3．自然长度相同，劲度系数分别为K 1，K 2的弹簧，串联后其劲度系数为1/K=1/K 1+1/K 2，并联后劲度系数为K=K 1+K 2。
解：弹簧串联，其劲度系数为K设弹簧伸长x ,两弹簧分别伸长x 1,x 2,则有：212121221121111k k k x k k x k k x x x x k x k kx F x x x +=∴+=+=∴===+= 弹簧并联，其劲度系数为K 设弹簧伸长x ，2121k k k kx x k x k F +==+=4．一质点作简谐振动，在同一周期内相继通过相距为11cm 的A,B 两点，历时2秒，速度大小与方向均相同，再经过2秒，从另一方向以相同速率反向通过B 点。
该振动的振幅为7﹒78cm,周期为8s 。
解：将题中三状态在旋转矢量图中用OA,OB,OC 表示，图中A,B 相位差为,φ∆B,C 相位差为φ，状态经历时间为s t t 221=∆=∆由旋转矢量图cm x A cmA x t T s T t T t T t T t T 78.7cos 5.52/11cos 482222,221121221==∴====∆==∴=∆+∆∴∆=∆=∆=∆+φφππφππππφπφπφφ5．简谐振动的总能量是E ，当位移是振幅的一半时，k E E =34，P E E = 14，当xA=2±时，k P E E =。
解：当位移是振幅的一半时，43,412121,222===∴=E E kA kxEE A x k p当,22A x ±=k p p E E E kA kx E E ==∴==∴21,212121,22三、计算题1． 一立方形木块浮于静水中，其浸入部分高度为 a 。
今用手指沿坚直方向将其慢慢压下，使 其浸入部分的高度为 b ，然后放手让其运动。
试证明：若不计水对木块的粘滞阻力，木块运动是简谐振动并求出周期及振幅。
（提示：建立坐标系如图，写出木块对平衡位置位移为 x 时的动力学方程 。
） 证明,选如图坐标系:，静止时: (1)mg gaS ρ=----任意位置时的动力学方程为： 22d d x mg gxS m tρ-=------(2)将(1)代入(2)得 22d ()d x gS x a m tρ--=令y x a =-，则 2222d d d d x y t t =，上式化为：22d d y gSy m t ρ-= 令2gS mρω=得: 222d 0d y y t ω+=------(3) 上式是简谐振动的微分方程,它的通解为:0cos()y A t ωφ=+所以木块的运动是简谐振动. 振动周期:222T πω=== 0t =时，0x b =，0y b a =-，00v =振幅:A b a ==-2．如图，一劲度系数为k ，小球质量为m 的弹簧振子，在水平面上绕O 点以匀角速度ω作圆周运动，设弹簧原长为l求：1，弹簧振子劲度系数如何，方作简谐振动 2，作简谐振动的周期为多少解：设平衡位置距O 点为0x020)(x m l x k ω=-20ωm k klx -=当质点偏离平衡位置x ，运动方程为：222222222202020)()()(ωπωωωω-=>=-+=+-=+++--mkT m k x m k dtx d dtx d m x m kx dtxd m x x m x l x k 为时，作谐振动，其周期当3.如左图示，质量为10g 的子弹，以500ms -1的速度射入木块中，使弹簧压缩从而作简谐振动，若木块质量为4.99kg ，弹簧劲度系数为8×10 3 Nm -1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为 x 轴正方向，求：简谐振动方程。
解：第一阶段是碰撞过程, 此过程进行得很快，认为此阶段弹簧还没有变形,则此阶段动量守恒:() (1)mv m m v ''=+------第二阶段是弹簧的振动阶段，而且初始条件为： 3-10010105001m s 5m v v v m m x -⨯'===⨯=⋅'+= 所以有：2211()22kA m m v ''=+得：22.510m A -==⨯ 在t =0时,振子向左(正方向)运动，所以：振子的角频率为-140rad s ω==⋅振子的方程:22.510cos(40)2x t π-=⨯+4．如下图示：弹簧振子（k 、M ）光滑平面上作谐动，振幅为 A 。
一质量为 m 的粘土，从高处自由落下粘在 M 上， 求：（1）则振子的振动周期变为多少。
（）若粘土是在 M 通过平衡位置时落在其上的，则其后振动振幅A '与原振幅 A 比3题图2πϕ=是多少（3）若粘土是在 M 通过最大位移时落在其上的，则其后振动振幅A '与原振幅 A 之比为多少： 解：（1）若黏土在M 通过平衡位置时落在其上：落在其上的过程看成是碰撞过程，在水平方向无外力，动量守恒：设碰前速率是v ，碰后速率是v '，则有：()Mv M m v '=+------（1） 所以初始条件为：000x Mv v v M m=⎧⎪⎨'==⎪+⎩由A =A '===原来的振幅为：A = 所以：A A '===（2）若黏土在M 通过平衡位置时落在其上：落在其上的过程看成是碰撞过程，在水平方向无外力，动量守恒：设碰前速率是0，碰后速率也是0，所以初始条件为：000x A v =⎧⎨=⎩A A ''== 所以：1:1A A ''= 5．已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为x 1= (10 t + π ,20.06cos(100.25)(SI)x t π=+求：(1) 合振动的初相及振幅. (2) 若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = (10 t +ϕ 3 ), 则当ϕ 3为多少时 x 1 + x3 的振幅最大又ϕ 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小解：（１）0.250.750.5ϕπππ∆=-=由：A =0.078A ==m112201122sin sin arctan arctan(11)cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+==+ （２）当2k ϕπ∆=时，合振幅最大；当(21)k ϕπ∆=+时，合振幅最小，所以当320.75k ϕππ=+时，13x x +振幅最大，当32 1.25k ϕππ=+时，32x x +振幅最小。
4题图。