13 机械振动解答13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m ，周期T=1.0s ，初相ϕ=3π/4。

试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。

13-1分析 弹簧振子的振动是简谐运动。

振幅A 、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程()ϕω+=t A x cos 的三个特征量。

求运动方程就要设法确定这三个物理量。

题中除A 、ϕ已知外，ω可通过关系式Tπω2=确定。

振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。

解 因Tπω2=，则运动方程()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=ϕπϕωt T t A t A x 2cos cos根据题中给出的数据得]75.0)2cos[()100.2(12ππ+⨯=--t s m x振子的速度和加速度分别为 ]75.0)2sin[()104(/112πππ+⋅⨯-==---t s s m dt dx vπππ75.0)2cos[()108(/112222+⋅⨯-==---t s s m dt x d ax-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示13-2 若简谐运动方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-4)20(cos )01.0(1ππt s m x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。

13-2分析 可采用比较法求解。

将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()ϕω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量。

运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。

解 （l ）将]25.0)20cos[()10.0(1ππ+=-t s m x 与()ϕω+=t A x cos 比较后可得：振幅A= 0.10 m ，角频率120-=s πω，初相πϕ25.0=，则周期 s T 1.0/2==ωπ，频率Hz T 10/1==ν。

（2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为m m x 21007.7)25.040cos()10.0(-⨯=+=ππ )25.040sin()2(/1πππ+⋅-==-s m dt dx v)25.040cos()40(/2222πππ+⋅-==-s m dt x d a13-3 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度ρ5.5×103kg •m -3。

现假定沿直径凿一条隧道。

若有一质量为m 的质点在此隧道内做无摩擦运动。

（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。

13-3分析 证明方法与上题相似。

分析质点在隧道内运动时的受力特征即可。

证（l ）取图13-3所示坐标。

当质量为m 的质点位于x 处时，它受地球的引力为2x mm GF x -= 式中G 为引力常量，m x 是以x 为半径的球体质量，即3/43x m x πρ=。

令3/4Gm k πρ=，则质点受力 kx Gmx F -=-=3/4πρ 因此，质点作简谐运动。

（2）质点振动的周期为sG k m T 31007.5/3/2⨯===ρππ13-4 如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，物体在光滑斜面上振动。

（1）证明其运动仍是简谐振动；（2）求系统的振动频率。

13-4分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）。

为此，建立如图13-4（b ）所示的坐标。

设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O ，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力。

利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率ν。

证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x 1、x 2，则由物体受力平衡，有2211sin x k x k mg ==θ按图（b ）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x 时，两弹簧又分别被拉伸'1x 和'2x ，即''21x x x +=。

则物体受力为 )'(sin )'(sin 111222x x k mg x x k mg F +-=+-=θθ 将式（1）代人式（2）得''2211x k x k F -=-=由式（3）得2211/'/'k F x k F x -=-=、，而''21x x x +=，则得到kx x k k k k F -=+-=)/(2121式中)/(2121k k k k k +=为常数，则物体作简谐运动，振动频率m k k k k m k /)/(21/212/2121+===πππϖν讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角θ对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响。

事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动。

而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因。

（2）如果振动系统如图13-4（c ）（弹簧并联）或如图13-4（d ）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为m k k /)(2121+=πν读者可以一试。

通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的13-5 为了测得一物体得质量m ，将其挂在一弹簧上让其自由振动，测得振动频率Hz 0.11=ν。

而将另一质量kg m 5.0'=的物体单独挂在该弹簧上时，测得振动频率Hz 0.22=ν。

设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量。

13-5分析 物体挂在弹簧上组成弹簧振子系统，其振动频率m k /21πν=，即m /1∝ν。

采用比较频率ν的方法可求出未知物体的质量。

解 由分析可知，m /1∝ν，则有m m /'/21=νν。

根据题中绘出的数据可得物体的质量为kg m m 0.2)/('212==νν13-6 在如图所示的装置中，一劲度系数为k 的弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为m 1的物体A ，置于光滑水平桌面上。

现通过一质量为m 、半径为R 的定滑轮B （可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为m 2的物体C ，设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率。

13-6分析 这是一个由弹簧、物体A 、C 和滑轮B 组成的简谐运动系统。

求解系统的振动频率可采用两种方法。

（1）从受力分析着手。

如图13-6（b ）所示，设系统处于平衡状态时，与物体A 相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O ，此时弹簧已伸长x 0，且g m kx 20=。

当弹簧沿Ox 轴正向从原点O 伸长x 时，分析物体A 、C 及滑轮B 的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程。

（2）从系统机械能守恒着手。

列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程。

解1 在图13-6（b ）的状态下，各物体受力如图13-6（c ）所示。

其中i x x k F )(0+-=。

考虑到绳子不可伸长，对物体A 、B 、C 分别列方程，有22101)(dt xd m x x k F T =+-(1)22222dtxd m F g m T =-(2)221221)(dt xd mR J R F F T T ==-α(3) g m kx 20=(4)方程（3）中用到了R a mR J F F F F T T T T /2/''22211====α、及、、。

联立式（l ）-式（4）可得02/2122=+++x m m m kdt x d 则系统振动的角频率为)2//(21m m m k ++=ϖ解2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒。

设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离X （此时速度为对v 、加速度为a ）为末状态，则由机械能守恒定律，有2022221220)(2121212121x x k J v m v m gx m kx +++++-=ϖ 在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取。

为运算方便，选初始状态下物体C 所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点。

将上述方程对时间求导得20212)(0x x k dtdvJ dt dv v m dt dv vm gv m +++++-=ϖ 将02222//2/kx g m dt x d dt dv v R mR J ====和、、ϖ代人上式，可得02/2122=+++x m m m kdt x d 式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致。

17-7 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m,周期T=0.50s 。

当t=0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置向负方向运动；（3）物体在..x=1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在..x= -1.0×10-2m 处，向正方向运动。

求以上各种情况的运动方程。

13-7分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相中是求解简谐运动方程的关键。

初相的确定通常有两种方法。

（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t= 0时， x= x o 和0v v =来确定ϕ值。

（2）旋转矢量法：如图 13-7（a ）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x 0和速度v 0的方向与旋转矢量图相对应来确定ϕ。

旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用。

解 由题给条件知 m A 2100.2-⨯=，14/2-==s T ππϖ，而初相ϕ可采用分析中的两种不同方法来求。

解析法：根据简谐运动方程()ϕω+=t A x cos ，当 t ＝0时有ϕcos 0A x =，ϕϖsin 0A v -=。

当（1）；，则时，01cos 110===ϕϕA x （2）；，取，因，则时，2020cos 20220πϕπϕϕ=±===πv A x（3）；，取，因，则时，3035.0cos 100.1303320πϕπϕϕ=±==⨯=-πv m x （4）；，取，因，则时，34035.0cos 100.1404420πϕππϕϕ=±=-=⨯-=-φv m x 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转关量图，如图13-7（b ）所示，它们所对应的初相分别为01=ϕ，2/1πϕ=，3/1πϕ=，3/41πϕ=。

振幅A 、角频率ω、初相ϕ均确定后，则各相应状态下的运动方程为 （1）t s m x )4cos()100.2(12--⨯=π （2）]2)4cos[()100.2(12ππ+⨯=--t s m x （3）]3)4cos[()100.2(12ππ+⨯=--t s m x(4）]34)4cos[()100.2(12ππ+⨯=--t s m x13-8 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8×10-2m 。