第八章 圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。

双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。

抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。

考试要求：(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。

(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。

(4)了解圆锥曲线的初步应用。

一、椭圆1．定义 1212||||2||PF PF a F F +=>1212||||1PF PF e d d ==< 注意：当122||a F F = 轨迹为线段F 1F 2122||a F F <轨迹为φ2．方程与性质： 2220,a b a b c >>=+（1）标准方程2222222211x y y x a b a b +=+= （2）焦点(,0)(0,)F C F C ±± （3）准线 22a a x y c c =±=± （4）顶点(,0)(0,)(0,)(,0)a b a b ±±±± （5）范围||,||||,||x a y b x b y a ≤≤≤≤ （6）焦半径 1010||||PF a ex PF a ey =+=+2020||||PF a ex PF a ey =-=- （7）到焦点最远距离a +c ，最近距离a-c（8）点00(,)P x y 在椭圆222200222211x y x y a b a b+=⇔+<内 （9）,c e a=通径22b a =，焦准距2b c =，准线距22a c = （10）22221x y a b+=上的点可设为(cos ,sin )P a b θθ注：①只有准线2,(,0)a c x F C e c a==完全一致才是标准方程 ②建立a ,b ,c 的齐次方程或不等式即可求e 的值或范围 ③221x y A B +=表示椭圆,0A B A B >⎧⇔⎨≠⎩④1212||||,PF PF d d e e== 二、双曲线1．定义1 1212||||22||PF PF a a F F -=±<22a a ⎧⎨-⎩右支左支注意：122||a F F =是两射线 122||a F F >无轨迹定义2 12121212||||1||||PF PF e d d PF PF d d ee ==>== 2．方程与性质 222c a b =+（1）方程 22221x y a b -= 22221y x a b-= （2）焦点(,0)(0,)F C F C ±± （3）顶点(,0)(0,)A a A a ±± （4）范围 ||||x a y a ≥≥（5）渐近线 b a y x y x a b=±=± 令“1”为0即可 （6）焦半径 1010||||||||PF ex a PF ey a =+=+2020||||||||PF ex a PF ey a =-=- （7）c e a=，实轴长=2a ，虚轴长=2b ，焦准距2b c =，通径22b a =，准线距22a c = （8）等轴双曲线 a =b, e =（9）00(,)p x y 在不含焦点的区域2200221x y a b⇔-< 注意：①22Ax By c +=表示双曲线00AB C <⎧⇔⎨≠⎩ ②已知渐近线n y x m=±，可设双曲线方程2222x y k m n -= ③双曲线的切线⇒⇐/只有一个交点直线与双曲线交点只有一个⇔切线，平行于渐近线的直线三、抛物线 1． 定义||PF d = 2． 方程22222222y pxy px x py x py ==-==- 3． 焦点,0,00,0,2222p p p p F F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4． 准线2222pp p p x x y y =-==-= 5． 焦半径0000||||||||2222pp pp PF x PF x PF y PF y =+=-=+=- 6． 通径 2P 7． P 在内部22220000000020202020y px y px x py x py -<+<-<+<注意①与抛物线只交于一点的直线⇔切线，平行于对称轴的直线②焦点弦问题（i ）212y y p =-（ii ）1112||||||AB AA BB x x p =+=++（iii ）1190A FB ∠=（iv ）以AB 为直径的圆与A 1B 1相切（v ）22||sin p AB θ=（vi ）112||||AF BF p+= 四、直线与圆锥曲线主要问题1．弦长问题22121221||1||11||l x x k y y k k a ∆=-+=-+=+ 焦点弦长12||||||AB AF BF ed ed =+=+ 2．垂直问题12120000OA OB x x y y OA OB AMB MA MB AMB MA MB ⊥⇔+=⇔⋅=∠⇔⋅<∠⇔⋅>为钝角为锐角1． 对称问题：五式法，也可用违达定理（求出中点坐标，代入区域内）4、 范围问题：先建立等式，再由等式到不等式5、 最值问题：转化为函数关系求最直或利用几何意义解题6、 定值问题：先利用特殊探求定值再证明7、 向量问题：实现向量语言的转化，充分利用向量的坐标工具8、 轨迹问题：第九章直线、平面、简单几何体（A）考试内容：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法。

平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离。

直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。

平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质。

多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球。

考试要求：(1)理解平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。

(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。

(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握三垂线定理及其逆定理。

(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

(5)会用反证法证明简单的问题。

(6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。

(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。

(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。

(9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。

一、平面的性质1、公理1，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内作用：证明直线在平面内2、公理2，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线作用：（1）证两平面相交（2）点在直线上（3）三点共线或三点共线3、公理3，经过不在同一直线上的三点，有且只有（确定一个）一个平面推论1，经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有（确定一个）一个平面推论2，经过两条相交直线，有且只有（确定一个）一个平面推论3，经过两条平行直线，有且只有（确定一个）一个平面作用：（1）确定一个平面（2）证两平面重合二、空间两条直线 1、位置关系：（1）相交 有且只有一个公共点（2）平行 在同一平面内，没有公共点 共面（3）异面，不同在任何一个平面内，没有公共点2、公理4：//,////a b b c a c ⇒3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同那么这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（直角）相等4、 异面直线所成的角（1）平移（2）相交（3）锐角（直角）02πθ<≤5、 异面直线间的距离、公垂线段的长度常常转化为线面距离、面面距离、再用等积法三、直线与平面位置关系1 相交：a A α=2 平行：//a α3 直线在平面内：a α⊂四、直线与平面平行 1． 定义：//a aααφ⇔= 2．判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行3．性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行五、直线与平面垂直1．定义： a α⊥⇔对于任意,l a l α⊂⊥2．判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3．性质定理：如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行4．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直5．三垂线逆定理，在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直6．重要结论（1）正方体的体对角线与异面的面对角线垂直（2）从平面外一点引斜线①斜线段相等⇔射影长相等 ②斜线段较长⇔射影长较长 ③斜线段>垂线段（3）直线与平面所成的角的范围是；[0,]2π（4）最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面经过斜足的直线所成的一切角中最小的角斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。

（5）三余弦公式12cos cos cos θθθ=（6）P 在平面ABC 的射影是0①外心⇔PA=PB=PC②内心⇔侧面与底面所成的角相等③垂心⇔,PA BC PB AC ⊥⊥或PA ，PB ，PC 两两垂直⇒垂心六、平面与平面1 位置关系{//aαβαβφαβ⇔== 2．平面与平面平行（1）判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行判定定理2：垂直于同一直线的两个平面平行（2）性质定理1： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一平面性质定理2： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行性质定理3：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面性质定理4：夹在两平行平面间的平行线段长度相等3．平面与平面垂直（1）αβ⊥⇔二面角平面角=90（2）判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（3）性质定理1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面性质定理2 ：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面内4 二面角的平面角（1）定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是[0,]π（2）作法一，定义法（具有对称图形的条件）作法二，三垂线定理法作法三，垂面法5、求空间角与距离求角要注意作、证、算结合。