高等数学完整版计算公式一、0101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m−−→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩（系数不为0的情况）二、重要公式（1）0sin lim 1x xx→= （2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >=（4）lim 1n →∞= （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→−∞=−（7）lim arccot 0x x →∞= （8）lim arc cot x x π→−∞= （9）lim 0xx e →−∞=（10）lim x x e →+∞=∞ （11）0lim 1xx x +→=三、下列常用等价无穷小关系（0x→）sin x x ∼ tan x x ∼ arcsin x x ∼ arctan x x ∼ 211cos 2x x −∼()ln 1x x +∼ 1x e x −∼ 1ln x a x a −∼ ()11x x ∂+−∂∼四、导数的四则运算法则()u v u v ′′′±=± ()uv u v uv ′′′=+ 2u u v uv v v ′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠五、基本导数公式⑴()0c ′= ⑵1x xμμμ−= ⑶()sin cos x x ′=⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− ⑺()sec sec tan x x x ′=⋅ ⑻()csc csc cot x x x ′=−⋅ ⑼()xxee′= ⑽()ln xxaaa ′= ⑾()1ln x x′=⑿()1log ln xax a ′=⒀()arcsin x ′= ⒁()arccos x ′=⒂()21arctan 1x x ′=+ ⒃()21arccot 1x x′=−+⒄()1x ′=⒅′=六、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x −=⋅=⎡⎤⎣⎦∑七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎞=−⎜⎟+⎝⎠+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b −⋅−+=−⎡⎤⎣⎦+八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ−= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =− ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =− ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =−⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a= ⒀()arcsin d x dx = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =−+九、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠十、基本积分公式⑴kdx kx c =+∫ ⑵11x x dx c μμμ+=++∫ ⑶ln dxx c x=+∫ ⑷ln xxa a dx c a=+∫ ⑸x x e dx e c =+∫ ⑹cos sin xdx x c =+∫ ⑺sin cos xdx x c =−+∫ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+∫∫⑼221csc cot sin xdx x c x ==−+∫∫⑽21arctan 1dx x c x =++∫ ⑾arcsin x c =+十一、下列常用凑微分公式十二、补充下面几个积分公式tan ln cos xdx x c =−+∫ cot ln sin xdx x c =+∫ sec ln sec tan xdx x x c =++∫ csc ln csc cot xdx x x c =−+∫2211arctan xdx c a x a a=++∫ 2211ln 2x adx c x a a x a−=+−+∫c ln c =+十三、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ∫，令n u x =，axdv e dx = 形如sin n x xdx ∫令nu x =，sin dv xdx = 形如cos n x xdx ∫令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ∫，令arctan u x =，ndv x dx = 形如ln n x xdx ∫，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin axe xdx ∫，cos ax e xdx ∫令,sin ,cos axu e x x =均可。

十四、第二换元积分法中的三角换元公式sin x a t = tan x a t = sec x a t = 【特殊角的三角函数值】（1）sin 00= （2）1sin62π=（3）sin 32π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π=（1）cos 01= （2）cos62π=（3）1cos 32π= （4）cos 02π=） （5）cos 1π=−（1）tan 00= （2）tan63π=（3）tan 3π=（4）tan 2π不存在 （5）tan 0π=（1）cot 0不存在 （2）cot 6π=（3）cot33π=（4）cot 02π=（5）cot π不存在十五、三角函数公式1.两角和公式sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ sin()sin cos cos sin A B A B A B −=− cos()cos cos sin sin A B A B A B +=− cos()cos cos sin sin A B A B A B −=+ tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=− tan tan tan()1tan tan A BA B A B −−=+cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅−+=+ cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅+−=−2.二倍角公式sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =−=−=−22tan tan 21tan AA A=−3.半角公式sin tan1cos A A =+ sin 1cos AA=−4.和差化积公式sin sin 2sincos22a b a b a b +−+=⋅ sin sin 2cos sin 22a b a ba b +−−=⋅ cos cos 2cos cos22a b a b a b +−+=⋅ cos cos 2sin sin 22a b a ba b +−−=−⋅ ()sin tan tan cos cos a b a b a b++=⋅5.积化和差公式()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =−+−−⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2a b a b a b =++−⎡⎤⎣⎦()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++−⎡⎤⎣⎦ ()()1cos sin sin sin 2a b a b a b =+−−⎡⎤⎣⎦6.万能公式22tan2sin 1tan 2aa a=+ 221tan 2cos 1tan 2a a a −=+ 22tan2tan 1tan 2aa a=−7.平方关系22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x −= 22csc cot 1x x −=8.倒数关系tan cot 1x x ⋅= sec cos 1x x ⋅= c sin 1cs x x ⋅=9.商数关系sin tan cos x x x =cos cot sin xx x=十六、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：()()dyf xg y dx= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠3.一阶线性非齐次微分方程：()()dyp x y Q x dx+= 解为： ()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c −⎡⎤∫∫=+⎢⎥⎣⎦∫。