(3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值.
x (…,b) b (b, …) x (…,a) a (a, …)
f ’(x) + 0
-
f ’(x)
-0
+
f (x)
f(b)
f (x)
f(a)
（4）结论
表格法也可用于求单调区间
二、已知极值 (x0, y0) 求参数
7、函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布
是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值
点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
一般地,当函数f(x)在某区间上可导且有有限极值
点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点
是交替出现的.
y
o
x
二、极值点左右的导数符号变化情况
函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点左 右附近的导数符号有什么规律?
f (x0) y0
f
( x0 )
0
五、极值应用-已知极值求参数
例4.已知f (x) ax3 bx2 cx(a 0)在x 1 时取得极值，且 f (1) 1. （1）求常数a、b、c的值； （2）判断x 1分别是极大值点还是极小值点？
练习：
（1）已知 f (x) ax5 bx3 c 在 x 1 处有极值，
且极大值为 4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
（2） 函数 f (x) 2x3 ax2 1 在区间 ,0和2,
递增，在区间（0，2）递减，则实数 a 的值为
(3)若f (x) x3 3ax2 3(a 2)x 1既有极大 值，又有极小值.求a的取值范围。
小结：
一、求极值
(1) 求导函数f `(x)及定义域；
(2) 求解方程f `(x)=0；
一、函数极值的定义：
一般函数y=f(x)在a,b,d,e,f,g,h,i等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
y=f(x) y y=f(x)
a b
cd e f o g h i j x
【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义 (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值 都大，即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0) (2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值 都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)
（1） 求函数f (x) x2 ex的极值.
（2） 求函数 f ( x) x a2 (a 0) 的极值.
x
例2. 求函数 y ( x 1)3 x 2的极值.
四、0导数点与极值点的关系?
例3. 求函数y 3x5 5x3的极值
结论:
1. 可导函数的极值点
导数为0.
2. 不可导点也可能是极值点，主要按定义判断. （即左右导数异号）
y
f (x3)
f (x4 )
f (x1 )
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
结论：
(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧f /(x0)>0
右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值
y
f (x0) 0
f (x) 0 f (x) 0
oa
X00
b
x
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值
y
f 0 ) 0
左右导 数异号
oa
X0
b
x
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
例1. 求 函 数f ( x ) 1 x 3 4 x 4的 极 值.
3
三、用导数法求解函数极值的步骤：
(1)求导函数f `(x)及定义域；
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
说明:
1、极大值与极小值统称为极值. 2、极值点是自变量，极值是函数值
3、极值点是区间内部的点而不会是端点.
4、某区间上的单调的函数没有极值. 有极值就不单调
5、极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值 不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
6、函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、 最小值.
(2)求解方程f `(x)=0；
(3)检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右的符号， 并根据符号确定极大值与极小值.
x (…,b) b (b, …)
f’(x) + 0
-
f(x)
f(b)
（4）结论
x (…,a) a (a, …)
f’(x)
-0
+
f(x)
f(a)
表格法 注意：表格要体现定义域
练习：