实验五 信号抽样与恢复
一、实验目的
学会用MA TLAB 实现连续信号的采样和重建 二、实验原理 1．抽样定理
若)(t f 是带限信号，带宽为m ω, )(t f 经采样后的频谱)(ωs F 就是将)(t f 的频谱
)(ωF 在频率轴上以采样频率s ω为间隔进行周期延拓。

因此，当s ω≥m ω时，不会发生频
率混叠；而当 s ω<m ω 时将发生频率混叠。

2．信号重建
经采样后得到信号)(t f s 经理想低通)(t h 则可得到重建信号)(t f ，即：
)(t f =)(t f s *)(t h
其中：)(t f s =)
(t f ∑∞∞--)(s
nT t δ=∑∞
∞
--)()(s
s
nT t nT f δ
)()(t Sa T t h c c
s ωπ
ω=
所以：
)(t f =)(t f s *)(t h =∑∞
∞
--)()(s s nT t nT f δ*)(t Sa T c c
s
ωπ
ω =π
ω
c
s T ∑∞
∞
--)]([)(s c
s
nT t Sa nT f ω
上式表明，连续信号可以展开成抽样函数的无穷级数。

利用MA TLAB 中的t t t c ππ)
sin()(sin =
来表示)(t Sa ，有 )(sin )(π
t c t Sa =，所以可以得到在MA TLAB 中信号由)(s nT f 重建)(t f 的表达式如下：
)(t f =π
ω
c
s T ∑
∞
∞
--)]([
sin )(s c
s nT t c nT f π
ω 我们选取信号)(t f =)(t Sa 作为被采样信号，当采样频率s ω=2m ω时，称为临界采样。

我们取理想低通的截止频率c ω=m ω。

下面程序实现对信号)(t f =)(t Sa 的采样及由该采样
信号恢复重建)(t Sa ：
例5-1 Sa(t)的临界采样及信号重构；
wm=1; %信号带宽
wc=wm; %滤波器截止频率 Ts=pi/wm; %采样间隔
ws=2*pi/Ts; %采样角频率 n=-100:100; %时域采样电数 nTs=n*Ts %时域采样点 f=sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-15:Dt:15;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); %信号重构 t1=-15:0.5:15; f1=sinc(t1/pi); subplot(211); stem(t1,f1); xlabel('kTs'); ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号'); subplot(212); plot(t,fa) xlabel('t'); ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)'); grid;
例5-2 Sa(t)的过采样及信号重构和绝对误差分析
程序和例4-1类似，将采样间隔改成Ts=0.7*pi/wm , 滤波器截止频率该成wc=1.1*wm ， 添加一个误差函数 wm=1;
wc=1.1*wm; Ts=0.7*pi/wm; ws=2*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts
f=sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-15:Dt:15;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); error=abs(fa-sinc(t/pi)); %重构信号与原信号误差 t1=-15:0.5:15; f1=sinc(t1/pi); subplot(311); stem(t1,f1); xlabel('kTs');
ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号'); subplot(312); plot(t,fa) xlabel('t'); ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构sa(t)'); grid;
subplot(313); plot(t,error); xlabel('t');
ylabel('error(t)');
title('过采样信号与原信号的误差error(t)');
例5-3 Sa(t)的欠采样及信号重构和绝对误差分析
程序和例4-2类似，将采样间隔改成Ts=1.5*pi/wm , 滤波器截止频率该成wc=wm=1
三、上机实验内容
1．验证实验原理中所述的相关程序；
-15
-10
-5051015
kTs
f (k T s )
-15
-10-5
051015
-0.500.51t
f a (t )
由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)
-15
-10
-5
051015
kTs
f (k T s )
-15-10
-5
051015
-202t
f a (t )
由sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构sa(t)
-15
-10
-5
05
10
15
00.51-5
t
e r r o r (t )
过采样信号与原信号的误差error(t)
-15
-10
-5
051015
kTs
f (k T s )
-15
-10
-5
0510
15
-202t
f a (t )
由sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构sa(t)
-15
-10
-5
05
10
15
00.51t
e r r o r (t )
过采样信号与原信号的误差error(t)
2．设f(t)=0.5*(1+cost)*(u(t+pi)-u(t-pi)) ，由于不是严格的频带有限信号，但其频谱大部分集中在[0，2]之间，带宽wm 可根据一定的精度要求做一些近似。

试根据以下两种情况用 MATLAB 实现由f(t)的抽样信号fs(t)重建f(t) 并求两者误差，分析两种情况下的结果。

(1) wm=2 , wc=1.2wm , Ts=1; (2) wm=2 , wc=2 , Ts=2.5
kTs
f (k T s )
0.5*(1+cost)*(u(t+pi)-u(t-pi))的采样信
号
-15-10
-5051015
-101t
f a (t )
由0.5*(1+cost)*(u(t+pi)-u(t-pi))的过采样信号重构sa(t)-15
-10
-5
05
10
15
012-3
t
e r r o r (t )
过采样信号与原信号的误差error(t)
kTs
f (k T s )
0.5*(1+cost)*(u(t+pi)-u(t-pi))的采样信
号
-15
-10
-5
0510
15
-505t
f a (t )
由0.5*(1+cost)*(u(t+pi)-u(t-pi))的欠采样信号重构sa(t)-15
-10
-5
05
10
15
024t
e r r o r (t )
欠采样信号与原信号的误差error(t)。