毕业论文文献综述
信息与计算科学
矩阵的初等变换在线性代数中的应用
一、前言部分
线性代数是高等代数的一大分支。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。
向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。
向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。
同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。
因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。
然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。
矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是研究矩阵的一个非常重要的工具。
矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。
最基本的应用当然是在线性方程方面。
但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。
而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。
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矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。
文章就详细地总结了矩阵的初等换在求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用。
本文就讨论应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中这些问题。
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二、主题部分
2.1矩阵和线性代数的概念介绍
2.1.1 线性代数的概念介绍
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。
2.1.2矩阵初等变换的概念介绍
初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。
初等变换有三类：
1. 位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；
2. 数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；
3. 消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。
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初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。
则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。
1. 交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；
2. 数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；
3. 消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。
其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。
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2.2 线性代数的历史背景和发展
2.2.1 线性代数的发展史
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代
数学”，一直沿用至今。
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。
①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；
②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。
③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；
④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
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2.2.2 矩阵的发展史
根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。
然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。
在我国的《九章算术》一书中已经有描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它的解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。
1850年，英国数学家西尔维斯特（SylveSter，1814——1897）在研究方程的个数与未知数的个数不相同的线性方程组时，由于无法实用行列式，所以引入了矩阵的概念。
1855年，英国数学家凯莱（Caylag，1821——1895）在研究线性变换下的不变量时，为了简洁，方便，引入了矩阵的概念。
1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零距阵等概念，以及利用伴随阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零距阵等结论，定义了转置阵、对称阵，反对称阵等概念。
1878年，德国数学家弗罗伯纽斯（Frobeniws，1849——1917）在他的论文中引入了λ矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子等概念，证明了2个λ矩阵等价当且仅当它们有相
同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义，1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。
矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。
到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。
目前，它已经发展成为在物理，控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量的应用数学分支。
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2.3 矩阵的初等变换
在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列时化为上（下）三角形行列式，从而简化行列式的计算，把行列式的某些性质引用到矩阵上，会给我们研究矩阵带来很大的方便，这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换.
定义1 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);
(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);
(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(相应记号中把换成).[7]
初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
注:初等变换的逆变换仍是初等变换, 且变换类型相同.
例如，变换的逆变换即为其本身；变换的逆变换为；变换的逆变换为或.
定义2 若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵, 则称矩阵与等价, 记为
（或）.
注：在理论表述或证明中，常用记号“～”，在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“”.
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:
(1) 反身性;
(2) 对称性若,则;
(3) 传递性若,,则.
一般地, 称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:
(1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方;
(2) 各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说其列标一定不小于行标）.
一般地, 称满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵：
(1) 各非零行的首非零元都是1；
(2) 每个首非零元所在列的其余元素都是零. [8]
定理1 任意一个矩阵()n m ij a A ⨯=经过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩阵
注: 定理1的证明也实质上给出了下列结论: 定理2 任一矩阵A 总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵, 并进而化为行最简形矩阵.
根据定理1的证明及初等变换的可逆性,有
推论 如果A 为n 阶可逆矩阵, 则矩阵A 经过有限次初等变换可化为单位矩阵E , 即
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定义3 对单位矩阵E 施以一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵.
三种初等变换分别对应着三种初等矩阵. (1) 的第行(列)互换得到的矩阵
(2) 的第行(列)乘以非零数得到的矩阵。