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第1次数学危机告诉我们： 确定中有不确定
“有理”中有“无理”. 1
1
√2
1
1
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第确请1定回次中答数有：学不问危确题机定告诉我们：
• 1，无理数可以称不确定数吗？ • 2，为什么确定中有不确定？
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8
第2次数学危机
• 十七世纪初，微积分诞生，当时的微积
分理论建立在无穷小分析之上，但什么是 无穷小，无穷小量是不是零？无穷小分析 是否合理？谁也说不清，由此引起数学界 长达100多年的争论， 直到19世纪初，一 些数学家才致力于微积分严格基础的建立， 这一争论，史称“第2次数学危机”。
向北京师范大学师生学习致敬
晚上好
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1
集对分析与不确定性
Uncertainty and Set pair analysis
•
赵克勤
•
• 浙江大学非传统安全与和平发展中心
•
集对分析研究所，310058
诸暨市联系数学研究所 311811
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2
内容提要
• 1，三次数学危机引出的不确定性问题 • 2，联系数与集对分析的两个理论 • 3，一个新的起点
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第2次数学危机的启示是
•
当一个无穷小趋于零的时候，它的起始位置
与极限位置构成一个集对，无穷小在趋于零的过
程中，要经历与起始位置相同、相异、相反3个阶 段，其中有量变，也有→质变，在什么位置发生质
变具有不确定性，需要具体分析。
起始
同同 同
△x同→0
异
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反 →终极
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第3次数学危机的启示是
• 是三次数学危机引出的共性问题
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23
第1次数学危机的启示是
• 确定（的关系）与不确定（的关
系）是一个确定－不确定系统，单位 正方形就是这样的一个确定－不确定 系统。因为单位正方形的边长1是确定 的，但这个正方形的对角线长√2是一 个无限不循环小数：一个不能确定的 数，这一点让人不可思议。
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第3次数学危机告诉我们 • 事物的确定性与不确定性对立统一
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请回答：问题
5，罗素悖论给我们哪些启示？
6，理发师悖论中的不确定性如何处置？
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请回答：问题
• 7，三次数学危机引出的共性问题是什
么？ • 8，三次数学危机给我们启示又有哪些？
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ห้องสมุดไป่ตู้
如何客观地认识和处置 确定性与不确定性的关系
•
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罗素悖论
• 但在1903年，英国数学家罗素
（bertrand russell ,1872-1970）构造了一 个集合S：S由一切不是自身的元素所组成 的集合。然后罗素问：S是否属于S？根据 排中律，一个元素或者属于某个集合，或 者不属于这个集合。因此，对于一个给定 的集合，问是否属于它自己是有意义的。
1906—1978)于1931年给出证明：任何一个 无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的 陈述，则必定存在一个不可判定命题，用 这组公理不能在有限步内判定其真假。也 就是说，在同一个包含初等算术的形式系 统中，“无矛盾”和“完备”是不能同时 满足的。
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哥德尔不完全性定理与集对分析
• 哥德尔不完全性定理是集对分 析不确定性系统理论的一个重要思 想来源，也是在联系数中设置i的 理论根据之一。
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第2次数学危机告诉我们：
• 无穷小具有不确定性
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10
请回答：问题
• 3，无穷小的不确定来自哪里？
ε •4， －δ语言无懈可击？
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第3次数学危机
• 十九世纪下半叶，德国数学家康托尔
（Georg Cantor, 1845-1918）创立了集合
论，开始时遭到许多人的攻击，但最终为 大家所接受。数学家们发现，从自然数与 康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦， 集合论因而成为现代数学的基石。
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3
数学从危机中走来
• 先后经历了3次危机
•
•
•
横跨2000多年时空
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4
第一部份
•三次数学危机与 •不确定性
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2
第1次数学危机
• 公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉
斯认为“一切数均可表成整数或整数之 比”。但他的一个学生考虑了如下问题： 边长为1的正方形其对角线长度是多少？结 果发现这一长度既不能用整数也不能用分 数表示，而只能用√2表示，诞生了第一个 无理数,也导致了人们认识上的危机，史称 “第1次数学危机”。
• 如果他不为自己理发，那么，理发师属
于A；但这样一来，理发师就不能给自己理 发了，也就不能属于A，那么，理发师自己 的头究竞该由谁理发？
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“羊群中也可能围进了狼”
• 罗素悖论的发现，说明了作为数学基础
的集合论存在着矛盾，这个矛盾是如此的 显而易见，在构造一个集合时就存在于这 个集合中，震动了当时的数学界，正如著 名的法国数学家庞加莱（Henri Poincare,1854-1912）所坦言，“我们围住 了一群羊，然而在羊群中也可能围进了 狼” ，史称“第3次数学危机 ”。
• 描述同一个客观事物需要2个集合
• 就如我们需要2只眼睛看东西、2
个鼻孔嗅气味、2只耳朵听声音、2只 手干活、2条腿走路，而这是大自然的 设计，也是罗素悖论给我们的启示。
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如果有人问：集对分析从哪里来？
• 可以回答：集对分析从3次数学危机中
来，是2000多年来人类探索不确定性的一 个新思路。因为第1次数学危机意外地发现 了确定中有不确定，2000多年后的第3次数 学危机又无意中在“羊群”中围进了 “狼” ，充分表明不确定性与确定性是天 生的一对，历经2000多年风和雨，形影相 随不分离.
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100多年来
• 数学家们围绕集合论中的罗素悖论，
开展了广泛的，长时期的激烈争论， 纷纷提出自己的解决方案，希望能够 通过对康托尔集合论的改造来排除悖 论，形成了逻辑主义、直觉主义、形 式主义三大数学流派，促进了现代数 学的发展。
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哥德尔不完全性定理
• 美国数学家哥德尔(Kurt Gödel，
就如我们问：我们自己是否属于自己？。
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两难境地
• 对罗素问题的回答会陷入两难境地：如
果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反 之，如果S不属于S，同样根据定义，S属于 S，无论如何都自相矛盾。
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罗素举了一个例子：理发师悖论
• 村上一个理发师贴出服务公告，宣称他
为所有不为自己理发的人理发（设这些人 组成集合A），那么，理发师自己的头该由 谁理发？