欧拉与“费马数”
同学们，你知道“费马数”吗？
1640年，著名的法国数学家费马认为自己找到了一个质数公式．这个公式是n22+1（n为自然数）．他举例说：
当n=1时，n22+1=122+1=22+1=5；
当n=2时，n22+1=222+1=42+1=17；
当n=3时，n22+1=322+1=82+1=257；
当n=4时，n22+1=422+1=16
2+1=55537．
现在数论中把可由n22+1得出的数称之为“费马数”．上述费马数均为质数．1729年12月1日，瑞士的大数学家、22岁的欧拉收到哥德巴赫的一封信，信中说：“……你知道费马在一本书注中提出的一个质数表达式吗？这就是‘一切形如n22+1（n是自然数）的数都是质数’，费马本人说这是证明不了的，据我所知，他身后已过了半个世纪，迄今还没有人能证明它，虽然如此，人们还是相信这个结论．”
欧拉深知这封信的来意是要求他要么证明“一切形如n22+1（n是自然数）的数都是质数”，要么否定这个结论．为此，他对n=5时的情况进行了研究。

当n=5时，
n
2
2+1=522+1=232+1=（2×27）4+1
=24×1284+1
=（1+15）×1284+1
=［1+5（128－125）］×1284+1
=（1+5×128）×1284+1－54×1284
=（1+5×128）×1284+（1+52×1282）（1+5×128）（1－5×128）
=（1+5×128）［1284+（1+52×1282）（1－5×128）］
=641×6700417．
由此可见，第五个费马数522+1=4294967297不是个质数，而是个合数，它是641和6700417的乘积，从而推翻了费马的猜想．这里的证明，欧拉用的不是什么高深的数学知识，而是像“因式分解”这种最基础的知识和最基本的技能，
以及诸如“分解质因数”“逆用法则与公式”“拆项”等基本技巧．这件事启示我们：谁想成为高素质的人才，在知识经济时代有所作为，现在就必须重视基础知识的学习，基本技能和技巧的训练，基本思想方法的活用．。