当l = 2，m = ±1时，氢原子中d态 电子的角向概率密度wlm之一呈双 钵状，其剖面是四叶玫瑰线。
当l = 2，m = ±2时，氢原子 中d态电子的角向概率密度 wlm之一呈轮胎状。
与l = 1，m = ±1的图形相 比，这种轮胎形状更扁。
当氢原子 角量子数 l = 3时， 磁量子数 m可取0， ±1，±2， ±3，角 向概率密 度如图所 示。
当m = 0 时，角 向概率 密度呈 带盘的 纺锤状；
当m = l时，角向概 率密度呈轮胎状；
当m是其他数整数时， 角向概率密度呈双钵状 和带盘的双钵状。
*{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度
(2)当氢原子主量子数n一定时，各种角量子数 的径向概率密度随距离分布的规律是什么？ [解析](2)氢原子薛定谔方 R (r ) M exp( Z r )( 2Z r )l L2l 1 ( 2Z r ) nl nl n l na0 na0 na0 程的径向分布函数为
n l
设k - 2l – 1 = i，即k = i + 2l + 1，可得 氢原子中的电子出现 i +1 2 n l 1 在r到dr之间的概率为 ( 1) [( n + l )!] 2l 1 i 2r2dr L n l ( x) x w d r = | R | nl nl (n l 1 i)!(2l +1+i)!i !
i 0
径向概率 w (r ) | R (r )r |2 M 2 [exp( Z r )( 2Z r )l L2l 1 ( 2Z r )r ]2 . nl nl nl n l 密度为 na0 na0 na0
当氢原子主量子数n为1时，角量子数l 只能取0，径向概率密度wnl随距离的增 加先增后减，其峰值出现在r = a0处。
n l k 2
k ! k n 对于幂函数y = xk， ( n) y k (k 1)...(k n 1) x k n x (k n)! 其n阶导数为
因此缔合拉盖 尔多项式为
d 2l 1 2l 1 Lnl ( x) k [(n+l )!]2 x k 2l 1 k 2l 1 k !( n l k )! (k 2l 1)!
wlmdΩ =
|Θlm|2|Φm|2dΩ
1 | lm ( ) |2 d 2π
根据纬度分布函数 w ( ) 1 | ( ) |2 1 [ N P|m| (cos )]2 . lm lm l 可得角向概率密度 lm 2π 2π
当氢原子角量子数为0时(l = 0)，磁量子 数只能取0(m = 0)，氢原子中s态电子的 角向概率密度wlm呈球状，其剖面是圆。
*{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度
(2)当氢原子主量子数n一定时，各种角量子数 的径向概率密度随距离分布的规律是什么？
n阶拉盖尔 多项式为
(1)k (n!) 2 k L n ( x) x 2 k 0 (k !) (n k )!
n
n + l 阶拉盖尔L ( x) (1) [(n l )!] xk n l 2 k 0 (k !) (n l k )! 多项式为
Z为原子序数(氢原子Z = 1)，a0是第一玻 2Z 3 (n l 1)! M nl ( ) 尔半径， Mnl是归一化常数(以区别Nlm) na0 2n[(n l )!]3 设 x
2Z r, na0
1 L2nl l ( x)
是缔合(连带)拉盖尔多项式。
下标n + l表示拉盖尔多项式阶数，即n + l阶拉盖尔多项 式Ln+l(x)；上标2l + 1表示对Ln + l(x)求2l + 1阶导数。
当n = 4时，曲 线族如图所示。
当n = 5时，曲 线族如图所示。
当n = 6时，曲 线族如图所示。
当n = 7时，曲 线族如图所示。
比较这些图可知： 对于主量子数n来 说，角量子数l可取 0，1，...，n – 1， 共n个值，每条曲 线有n - l个峰。当l = n – 1时，峰值出 现在r = n2a0处，这 个峰比其他曲线的 最高峰还要高一些。
当主量子数n为2时，如果l为 0，径向概率密度有两个峰， 两峰之间有一个节点；如果l 为1，径向概率密度只有一 个峰，峰值出现在r = 4a0处。
当主量子数n为3时，如果l为 0，曲线有3个峰，随着距离 增加，一个峰比一个峰高， 曲线共有2个节点；如果l为1， 曲线有2个峰，1个节点；如 果l为2，曲线只有1个峰，峰 值出现在r = 9a0处。
*{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度
(1)求氢原子角向概率密度，说明角向概率密度的变化规律。 (2)当氢原子主量子数n一定时，说明各种角量子数的径向概 率密度的分布规律。 为了简单起见，用m表示轨道磁量子数ml。
[解析](1)求氢原子薛定谔方程可得到电子的波函数ψnlm(r,θ,φ)。 每一组量子数(n,l,m)，都有一组波函数描述一个确定的状态 ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(r)Θlm(θ)Φm(φ)， 这里，Φm(φ)是氢原子的经度分布函数，Θlm(θ)是纬 度分布函数，Rnl(r)是径向分布函数。 氢原子的经度 ( ) 1 exp(im ), m 2π 分布函数为
当 l = 1， m = 0时，氢 原子中p态 电子的角 向概率密 度wlm之一 呈纺锤状， 其剖面是 直立的双 纽线。
当l = 1，m = ±1时，氢原子中p态 电子的角向概率密度wlm之一呈轮 胎状，其剖面是横置的双纽线。
当 l = 2， m = 0时，氢 原子中d态 电子的角向 概率密度 wlm之一呈 带盘的纺锤 状，其剖面 是带叶的双 纽线。
1/ 2π 是归一化常数。
纬度分布函数为
lm ( ) Nlm Pl|m| (cos ),
Nlm (2l 1)(l | m |)! . 2(l | m |) !
Plm(x)是缔合(连带)勒让德 多项式，Nlm是归一化常数
*{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度
在氢原子中取一个体积元dV = r2sinθdrdθdφ = r2drdΩ， dΩ = sinθdθdφ是立体角。 电子出现在距核为r，纬度为θ，经度为φ处的体积元dV中的概 率为wnlmdV = |ψnlm|2dV = |Rnl|2|Θlm|2|Φm|2dV。 电子出现在φ到φ + dφ之间的概率为wmdφ = |Φm|2dφ。 根据经度分布函数可知：|Φm|2是常量，因 此概率的角分布关于z轴具有旋转对称性。 电子出现在立体角 dΩ之内的概率为