第十六章 从经典物理到量子物理一、基本要求1. 了解描述热辐射的几个物理量及绝对黑体辐射的两条实验规律。

2. 理解普朗克的“能量子”假设的内容，了解普朗克公式。

3. 理解光电效应和康普顿效应的实验规律，以及爱因斯坦的光子理论对这两个效应的解释。

4. 理解爱因斯坦光电效应方程；红限概念和康普顿散射公式。

5. 理解光的波粒二象性以及光子的能量，质量和动量的计算。

6. 掌握氢原子光谱的实验规律，理解玻尔氢原子理论的三条基本假设的内容；并由三条假设出发，推导出氢原子的光谱规律。

二、基本内容1. 黑体辐射（1）绝对黑体在任何温度下都能全部吸收照射在其上的任何波长的电磁波的物体，称为绝对黑体。

绝对黑体是一种理想模型，其在任何温度下对任何波长入射辐射能的吸收比均为1。

（2）黑体辐射的实验规律斯特藩-玻尔兹曼定律40)(T T M σ=式中)(0T M 为绝对黑体在一定温度下的辐射出射度，σ=5.67×10-8W ·m -2·K -1为斯特藩常量。

维恩位移定律b T m =λ式中m λ为相应于)(0T M λ曲线极大值的波长，31089.2-⨯=b m ·K（3）普朗克的能量子假说辐射黑体是由原子分子组成的。

这些原子和分子的振动可看作线性谐振子，这些谐振子的能量只能是某一最小能量ε的整数倍，即ε，2ε，3ε...，n ε，物体发射或吸收的能量必须是这个最小单元的整数倍。

ε称为能量子，n 为正整数，叫量子数。

在黑体辐射理论中，能量子ε=hv ，其中h 是普朗克常量，v 是特定波长的辐射所对应的频率。

（4）普朗克黑体辐射公式)(0T M λ=11252-⋅T k hce hc λλπ 式中h 为普朗克常量，k 为玻尔兹曼常量，c 为真空中光速。

由此公式可推导出斯特藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定律，而且在低频和高频情况下可分别化为瑞利-金斯公式和维恩公式。

2. 光电效应金属及其化合物在电磁辐射下发射电子的现象称为光电效应。

（1）光电效应的实验规律① 单位时间内逸出金属表面的光电子数与入射光强成正比。

② 光电子的最大初动能随入射光的频率上升而线性增大，与入射光强无关。

③ 如果入射光的频率低于该金属的红限，则无论入射光的光强多大，都不会使这种金属产生光电效应。

④ 光电效应是瞬时的。

只要入射光的频率大于该金属的红限，当光照射到这种金属表面时，几乎立即产生光电子，而与入射光强无关。

对光电效应经典理论遇到困难，主要表现在三个方面：①光电子最大初动能问题；②光电效应的红限问题；③发生光电效应的时间问题。

（2）爱因斯坦的光子理论爱因斯坦认为光束是以光速c 运动的粒子流 ，其中每一个粒子携带的能量为hv ，这些粒子称为光量子。

光子具有波粒二象性。

光子的能量 hv ε=光子的动量 λhp =其中ε，p 表示光子的粒子性；v ，λ表示光子的波动性。

光子的质量 22hv h m c c c ελ=== 光子的静止质量 00m =（3） 爱因斯坦的光电效应方程Φ-=hv m m 221v 式中m 为光电子质量，m v 为逸出电子的最大初速度，v 为入射光频率，Φ为金属的逸出功。

爱因斯坦利用光子理论和光电效应方程对光电效应作出了圆满的解释，给出了金属红限的表达式 0v h Φ=3. 康普顿效应短波射线（如X 射线、γ射线）在被物质散射过程中波长变长的现象称为康普顿散射或康普顿效应。

康普顿散射波长的改变量2sin 22θλλc =∆式中λ∆为伦琴射线的波长改变量，002426.00==c m hc λnm 为电子的康普顿波长，θ为散射角。

爱因斯坦的光子理论圆满地解释了康普顿效应。

4. 氢原子光谱和玻尔的量子理论（1）氢原子光谱的实验规律氢原子的广义巴尔末公式)11(22n m R -=σ ⎩⎨⎧⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅=3,2,13,2,1m m m n m 式中σλ/1=为波数，17100967776.1-⨯=m R ，R 称为里德伯常量。

卢瑟福的氢原子核型结构经α粒子散射实验证明是正确的，它和经典理论是不相容的，经典理论解释氢原子光谱的规律和氢原子核型结构的稳定性遇到的空难。

①按经典理论，电子绕原子核旋转必定要辐射电磁波，并且所发射的电磁波是连续谱。

实际上，通常情况下的原子并不辐射电磁波，只有从外界吸收了能量之后，才可能发射电磁波，并且发射的电磁波频谱是分立谱，不是连续谱。

②随着系统自身能量的不断减少电子绕原子核运动的轨道半径将随之减小，最后电子必定落在原子核上，可见，按经典理论，原子核型结构不是稳定结构。

实际上，正常情况下的原子是十分稳定的。

（2） 玻尔的量子论玻尔的量子论是玻尔为解释氢原子光谱实验规律而做出的基本假设，其核心是定态和跃迁概念的引入。

（a ）定态假设：原子存在一系列不连续的稳定状态，即定态。

处于这些定态中的电子虽作相应的轨道运动，但不辐射能量 。

（b ）量子化假设：电子绕核运动时，只有电子的角动量L 等于整数倍的那些轨道才是稳定的。

即 L n = ),3,2,1(⋅⋅⋅=n 式中=2h π（c ）辐射假设：当原子中的电子从某一轨道跃迁到另一轨道时，就对应原子从某一定态跃迁到另一定态，这时才辐射或吸收一相应的光子，辐射或吸收的光子能量由下式决定。

m n E E hv -=式中m n E E ,分别为原子系统的定态能量，v 为吸收或发出光的频率。

在此假设下能较好地处理氢原子光谱问题，但该理论不是一个自洽的理论。

有着较严重的缺陷。

三、习题选解16-1 在任何温度下（1）绝对黑体是否总是呈现黑色?（2）绝对黑体的发射本领是否一样?答：（1）黑体看上去并不一定总是呈现黑色，所谓绝对黑体是指能够在任何温度下全部吸收任何波长的辐射的物体。

但是绝对黑体同样能够辐射能量。

而且由基尔霍夫定律，处于同样温度的辐射体中，绝对黑体的辐出度是最大的。

维恩位移定律给出最大单色辐出度对应的波长m λ与温度的关系。

m T b λ= 32.89710b -=⨯m ·K当温度较低时，m λ较大可能在红外区，肉眼看上去黑体表面确实是黑色的。

当m λ在可见光范围内，例如m λ=500nm 时，可估计到393108.51050010897.2⨯=⨯⨯==--m bT λK 也就是说当黑体温度达到103K 时，肉眼完全可以看到绝对黑体的辐射。

（2）绝对黑体的发射本领都是一样的，因为黑体的单色辐出度)(T M λ只与辐射体温度及辐射波长λ有关，而与辐射物质无关。

16-2 将星球看作绝对黑体，利用维恩位移定律测量m λ便可求得T 。

这是测量星球表面温度的方法之一。

设测得：太阳的51.0=m λμm ，北极星的35.0=m λμm ，天狼星的29.0=m λμm 。

试求这些星球的表面温度。

解：由维恩位移定律m T b λ= 32.89710b -=⨯m ·K将太阳、北极星和天狼星的m λ= 0.51 μm ，0.35μm ，0.29μm 分别代入，可求得相应的温度为：31068.5⨯K ，31028.8⨯K ， 31099.9⨯K 。

宇宙星体中，太阳温度并不是最高的。

只是它距地球相对较近，而对地球产生较大的影响。

16-3 设太阳的表面温度是5700K 。

（1）试用斯特藩-玻尔兹曼定律计算太阳辐射时每秒钟的质量亏损。

取太阳的直径为1.4×109m 。

（2）估计太阳的质量减少1%要经过多少时间？取太阳的静质量为2.0×1030㎏。

解：（1）由斯特藩-玻尔兹曼定律40)(T T M σ=81067.5-⨯=σW ·m -2·K -4)(0T M 为物体单位表面上辐射的功率，辐射功率为⎰⎰=ds T M T P )()(0将太阳看作球体有 )(4)(02T M R T P π=424T R σπ=由爱因斯坦质能关系换算为质量亏损有)()(2mc dt d T P = 24224)(1c T R T P c dt dm σπ==284829)103()5700(1067.5)107.0(14.34⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-㎏·s -1 9101.4⨯=㎏·s -1（2）由题意 01.0=∆t dtdm m 年秒秒11189301055.11088.4101.4100.201.001.0⨯=⨯=⨯⨯⨯==∆dtdm m t 宇宙星体不断向外界辐射能量，同时也消耗自身能量，因而也有寿命问题。

本题结果为太阳寿命的一个粗略估计。

16-4 在加热黑体的过程中，其单色辐出度的最大值所对应的波长由69.0μm 变化到50.0μm ，其总辐出度增加了几倍？解：由斯特藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定律分别有40)(T T M σ= b T m =λ则 440)(mb T M λσ= 若以)(0T M ' ， m λ'分别表示变化后的辐出度和对应的波长有 63.3)50.069.0()()()(4400=='='m m T M T M λλ 16-5（1）为什么即使是单色光入射到同种金属表面，而产生的光电子却有分散的速度？（2）如果光电效应发生在气体中而不是在固体表面上，试问是否还存在截止频率？答：（1）光电效应现象不仅发生在金属表层，光子也可深入到物体内部。

当入射光子的能量大于电子在物体内的束缚能时，物体内部的电子同样能够吸收光子的能量成为自由电子，由于电子在物体内部的脱出功比在表层的电子的脱出功要大，内部电子逸出表面后的动能较表层电子的动能要小。

因而即使入射光是同一频率的单色光，能量相同，但由于逸出表面的光电子可能来源于物体的表层或内部的不同位置，其动能不一样，速度也不同。

（2）气体中的电子同样受原子或分子内原子核的束缚。

电子吸收光子的能量必须大于原子或分子的束缚能才可能克服原子或分子的束缚，成为自由电子，气体中的光电效应现象同样存在截止频率，这时电子的脱出功就是原子或分子的电离能。

16-6 在光电效应试验中，测得某金属的截止电压0U 和入射光波长λ有下列对应关系， λ/m71060.3-⨯ 71000.3-⨯ 71040.2-⨯ 0U /V1.402.003.10试用作图法求： （1）普朗克常量h 与电子电量的比值e h /；（2）该金属的逸出功；（3）该金属光电效应的红限。

解：先将波长λ换算成频率v 的值，如下表λm 1410/(⨯v Hz) /0U V3.60×10-7 8.33 1.403.00×10-7 10.00 2.002.40×10-7 12.503.10再作v U a -图，系一直线。

题16-6图由爱因斯坦关系 Φ-==hv eU m m 0221v可知0U 和v 的线性关系是 e v e h U Φ-=0 所以（1）直线的斜率为eh 1410)33.850.12()40.110.3(⨯--=∆∆=v U e h J ·s ·C -1 151008.4-⨯= J ·s ·C -1（2）直线截距 0.2-=Φ-eV 0.2=ΦeV（3）由直线与横轴交点，可以得到该金属的红限频率为1401000.5⨯=v Hz16-7 波长为3.5×10-7m 的光子照射到一个表面，试验发现，从该表面发射出的能量最高的电子在1.5×10-5T 的磁场中偏转而成的圆轨道的半径为0.18m 。