1 / 13 数字信号处理 数字滤波器的设计

学院 计算机与电子信息学院 专业 电子信息科学与技术 班级 电子１5－2 班 姓名 学号 指导教师 刘利民 2 / 13

数字滤波器的设计 一、模拟低通滤波器的设计方法 1、Bｕtterwｏrth滤波器设计步骤： ⑴。确定阶次N ① 已知Ωc、Ωs和As求Buｔtｅrｗｏrth DF阶数N

由: 22110lg()10lg1(/)NscAHjsas

求出N:/10lg(101)2lg(/)sscAN ② 已知Ωc、Ωs和Ω=Ωp（3dBp)的衰减Aｐ 求Buｔterwortｈ DF阶数N

/10lg(101)2lg(/)pApNNc得到：

③ 已知Ωｐ、Ωｓ和Ω=Ωp的衰减Aｐ 和As 求Bｕtteｒwoｒth DF阶数Ｎ 由 22110lg()10lg1(/)NpcAHjpap /10/1022(/)101,(/)101psAANNpcsc则： 3 / 13

/10/10lg[(101)(101)]2l(/):gsPAApsNN求出 ⑵.用阶次N确定 ()aHs 根据公式：

2s2=1121[]2221|(|=()(),01(/)(1)(),1,2,2aaaNcjkjNNkccHjHsHssjsjekN）令分母，得 ()()aaHsHs在左半平面的极点即为()aHs的极点，因而

1()()NcsNkkHsss 121[]22kjNkcse ，1,2,,kN 2、切比雪夫低通滤波器设计步骤: ⑴.确定技术指标p p s s 归一化： /1ppp /ssp ⑵．根据技术指标求出滤波器阶数N及: 1111()schkNch 其中 0.1110.1101101spk 0.12101 p ⑶.求出归一化系统函数 其中极点由下式求出: 4 / 13

11/(21)(21)sin[]cos[]221()2()()()piaNNiiaapskkpshjchNNHpppHsHp









或者由N和Ｓ直接查表得()aHp ⑷．去归一化： ()aaapsHsHpH（）= 二、数字低通滤波器的设计步骤: 1、 确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带最大衰减系数p、阻带截止频率、阻带最小衰减系数s。 2、 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 巴特沃斯：

/10lg(101)2lg(/)pApNNc

得到：

1()()NcsNkkHsss



切比雪夫：/ssp 0.12101 p

1111()schkNch

其中0.1110.1101101spk

()aaapsHsHpH（）= 5 / 13

３、把模拟滤波器变换成数字滤波器,即把模拟滤波器的系数)(SH映射成数字滤波器的系统函数)(zH。

实现系统传递函数s域至ｚ域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法. （1）脉冲响应不变法。 按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数sH

a

转换成数字低通滤波器的系统函数Ｈ(z)。

设模拟滤波器的传输函数为sHa,相应的单位冲激响应是tha，sHa=LＴ［tha］，ＬＴ［.］代表拉氏变换，对tha进行等间隔采样,采样间隔为T，得到nTha，将ｈ（n)= nTha作为数字滤波器的单位取样响应,那么数字滤波器的系统函数H（z）便是ｈ（n)的Z变换.因此脉冲响应不变法是一种时域上的转

换方法,它是h（n)在采样点上等于tha。

设模拟滤波器sHa只有单阶极点,且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次,将sHa用部分分式表示：



NiiiassAsH1 ，式中is为sHa的单阶极点。

将sHa逆拉氏变换得到tha： )(1tueAthtsNiiai

,式中u（t)是单位阶跃函数。

对tha进行等间隔采样,采样间隔为Ｔ，得到： )()(1nTueAnThnhnTsNiiai 6 / 13

对上式进行Z变换,得到数字滤波器的系统函数H（z): 

NiTsizeAzHi111

,

经过一系列变换得到：

)(1)(skaezjksHTzHsT

（2)双线性变换法 这种变换方法,采用非线性频率压缩方法,将整个频率轴上的频率范围压缩到±π/Ｔ之间,再用sTez转换到z平面上.设Ｈa(s),s=jΩ，经过非线性频率压缩后用Ｈa（s1),1s＝jΩ１表示，这里用正切变换实现频率压缩:

TT15.0tan2

式中T仍是采样间隔，当Ω１从－π／Ｔ经过0变化到π/T时,Ω则由-∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到1s平面上虚轴的±π／T之间的转换。这样便有

tsTszzTTthTs111125.021







再通过sTez 转换到ｚ平面上,得到：

11112zz

Ts

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sTsTz22 令jezjs, ，有

jjeeTj

112

21tan2T

两种方法比较: 脉冲响应不变法的优点: １,模拟频率到数字频率的转换时线性的； 2，数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。

缺点: 会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器 双线性变换法优点： 克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠 缺点: 时域到频域的变换是非线性的,在高频处有较大的失真。

三、数字高通滤波器的设计步骤： ① 数字高通滤波器的技术指标为:通带截止频率ωp 阻带截止频率ωs 8 / 13

通带衰减频率 阻带衰减频率 2/ppswfF 2/ssswfF

② 预畸变处理，将数字高通指标转换为模拟低通指标

2cot()2sswT 2cot()2ppwT

④ 确定阶数N 由1010lg((101)(101))2lg()atspN (可由模拟低通滤波器设计方法可得()aHs）

④ 归一化及去归一化 查表令s=s/Ω 归一化模拟低通圆型系统函数

⑤ 低通向高通转化 令s1=1／s 由频率变换公式 即可得 ⑥ 滤波器数字化 令1-1-z-1z12sT 利用双线性变换化 带入数据可得数字高通H(z）

数字高通不能采用脉冲响应不变法原因是:脉冲响应不变法有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。而高频衰9 / 13

减越大,频响的混淆效应越小，至于高通滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中.

四、数字带通滤波器的设计： 步骤： （1） 确定性能指标: 在设计带通滤波器之前，首先根据工程实际的需要 确定滤波器的技术指标:通带截止频率ｗc1,wｃ２、阻带截止频率wr1，wr2、阻带最小衰减αs通带最大衰减αp

(2） 对带通数字滤波器Ｈ(z)的数字边界频率预畸变

得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率 主要是通带截止频率ωｐ1，ωｐ２;阻带截止频率ωs1，ωs２的转换。 对双线性变换法一般Ｔ=2s 通带截止频率wc1＝（2/T)＊tan(wp１／2) 、ｗｃ2=(2/T)*tan（wp２/2) 阻带截止频率ｗr1=（2／T)*ｔan（ｗs１／2)、wｒ２=（2/Ｔ）＊tan（ws2/2) 阻带最小衰减αｓ 通带最大衰减αｐ （３）低通到带通频率变换

将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。 10 / 13

Ｂ=wc２－ｗc1 ｎormwr1＝（（(ｗr1＾２）－(w0^２)）/（B＊wr1)) normwr2=（（(ｗｒ2^2）－(w0^2))/（B＊wｒ2）) noｒmwc1=（（(wc1^2）-(ｗ０^2)）/（B*wｃ1)) noｒｍwｃ2=(（(wc2＾2)—(w0^2））／（B＊wc２)） 模拟低通滤波器指标： norｍwc,ｎorｍwr，αp，αｓ （4）设计模拟低通原型滤波器.查表得到归一化低通传输函数G(p):

用模拟低通滤波器设计方法（由巴特沃斯设计步骤或切比雪夫设计步骤）得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(ｓ）

(5)模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。ﻫ)(202)()(lusspapGsH （６)利用双线性变换法将模拟带通滤波器Hａ(s）转换成数字带通滤波器H(z)

由1-1-z-1z12sT 11112202)(zzslussp 得到 也可以用脉冲响应不变法：)(1)(skaezjksHTzHsT 两种方法比较比较：