⎧a > 0 ⎨ 2 ⎩16a − 12a < 0
4a (4a − 3) < 0
（3）由 y ≤ 0或y ≥ 3

3⎫ ⎧ ⎨a | 0 ≤ a < ⎬ 4⎭ ⎩ 2x − 1 2x − 1 ≤ 0或 ≥3 则 x −1 x −1
1 ≤ x < 1或1 < x ≤ 2 2
⎡1 ⎞ 定义域为 ⎢ , 1⎟ ∪ (1, 2] ⎣2 ⎠
定义域为 {x | −5 ≤ x ≤ 1}
⎧x −1 ≠ 0 （4） ⎨ 2 ⎩4 − x ≥ 0 ⎧x ≠ 1 ∴ ⎨ ⎩−2 ≤ x ≤ 2
定义域为
{x | −2 ≤ x < 1或1 < x ≤ 2} [−2, 1) ∪ (1, 2)]
（5） x 2 − 6 x + 10 ≥ 0
定义域为 R
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10 ⎧ ⎪0 < r < 则⎨ 2 ⎪ ⎩0 < 10 − 2r < 2πr
例 6． g ( x) = kx 设 f ( x) = ax − 2 ∴ f ( g ( x)) = ag ( x) − 2 = akx − 2 = 3x − 2 ∴ ak = 3 ① g ( f ( x)) = k ⋅ f ( x) = k (ax − 2) = akx − 2k = 3x − 2 ∴ 2k = 2 ②
（3） f ( x) = − x 2 − 4 x + 5 （4） f ( x) =
4 − x2 x −1
（5） f ( x) = x 2 − 6 x + 10 （6） f ( x) = 1 − x + x + 3 − 1 说明：关于函数的定义域 （1）自然定义域：若对ｘ未加限制，则使 f ( x) 有意义的集合 （2）复合函数的定义域： f ( x) 中 x 的范围，即为 f ( g ( x)) 中， g ( x) 的范围，再解 x 即得结果。 （3）几何问题、实际问题、物理问题等，应注意变量的实际意义。
x + 1 x2 + 1 1 ) = 2 + ，求 f ( x) x x x
2
（2）已知： 2 f ( x ) + f (
1 ) = x( x > 0) ，求 f ( x) x2 ( x))) 且 f ( x) =
n
（3）已知： f n ( x) = f ( f ( f
x
1− x
2
（其中 n ∈ N ） ，求 f n ( x)
例 8．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
3 | x − 1 | (0≤x≤2) 2 3 3 B． y = − | x − 1 | (0≤x≤2) 2 2 3 C． y = − | x − 1 | (0≤x≤2) 2
A． y = D． y = 1− | x − 1 | (0≤x≤2)
例 9． （1）已知： f (
∴ f ( x) = x 2 − x + 1( x ≠ 1)
∴ f (t ) = t 2 − t + 1
t ≠1
⎛ 1 ⎞ （2）解： 2 f ( x 2 ) + f ⎜ 2 ⎟ = x( x > 0) ① ⎝x ⎠ 1 1 ⎛ 1 ⎞ ② 以 代替 x， 2 f ⎜ 2 ⎟ + f ( x 2 ) = x x ⎝x ⎠
x 2 + 3 x − 1 中：
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x： y： f： f（x） ： 注意：解析式只表示一种关系，与所取字母无关。如
f（g（x） ） ：
y = x 2 + 3 x − 1, m = n 2 + 3n − 1 等是一样的。
（２） f ( x) 与 f (ϕ ( x))
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → f (ϕ ( x)) f ( x) ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯
勘误：题目中 A=R，改为 A={正实数}
二、函数 1． 函数定义： 映射 f : A → B（其中 A、 B 是非空数集） ， 叫函数。 记作： y=（ f x） ， 其中 x ∈ A, y ∈ B ； 原象集合 A 叫做函数 （ f x） 的定义域(domain)， 象集合 C 叫做函数 （ f x） 的值域(range)， 很显然， C ⊆ B； 说明： （１）函数三要素：两域及对应法则 （２）函数与映射的关系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广。
x f(x) 则 f [g (1)] 的值 例 4．求下列函数的定义域 1 （1） f ( x) = x− | x | （2） f ( x) =
1 1
2 3
3 1
x g(x)
1 3
2 2
3 1
；满足 f [g ( x )] > g [ f ( x )] 的 x 的值
.
1 1+ 1 x
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⎧1 − x ≥ 0 （6） ⎨ ⎩x + 3 ≥ 0
∴ {x | −3 ≤ x ≤ 1}
⎧−1 < a < 2 例 5． （1）① f ( π) = 2π ；②由题： ⎨ 2 ⎩a = 3
∴ a= 3
（2） ax 2 + 4ax + 3 > 0 恒成立 当 a = 0 时，满足 当a >0
Δ <0
⎧多对一 （4）映射的要点在于“对一” ⎨ ⎩一对一
练习：设 A=R，B=R， f : x →
2x + 1 是 A 到 B 的映射 x （1）设 a ∈ A ，则 a 在 B 中的象是什么？ （2）设 t ∈ A ，则 t + 1∈ A ，那么 t＋1 在 B 中的象是什么？ （3）在映射 f 下，3 的原象是多少？ （4）若 s-1 在映射 f 下的象为 5，则 s 是多少，s 在 f 下的象是多少？
函数及其表示
教 师：苗金利
第 3 讲 函数（function）及其表示
一、映射（mapping）定义 一般地，设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集 合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做从集 合 A 到集合 B 的映射。 记作“f：A → B”其中 f 是对应法则，A 是原象集（起始集） ，B 是包含象集的集（终止集） 。 ， f 是对应法则，x 是原象，y 是象。 （如果给定一个从集合 A 到集合 B →y” 或记作“ x ⎯⎯
（3）已知函数 y =
2x −1 的值域是 { y y ≤ 0} ∪ { y y ≥ 3} ，求此函数的定义域。 x −1 1 （4）已知 f ( x + 1) 的定义域为 [ −2,3) ，求 f ( + 2) 的定义域。 x
（5）已知扇形的周长为 10，求扇形半径 r 和面积 s 的函数关系式 s(r)，及此函数的定义域。 说明：函数的表示： （1）解析法就是将两个变量的函数关系，用一个等式表示； （2）列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系； （3）图象法就是用图象两表示两个变量的函数关系； 说明： 对于函数的解析式： （1） y = f ( x) 表示ｙ是ｘ的函数 如： f ( x) =
1 1 }，对应法则是 f： x → y = x 2
例 2．下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，为什么？ （1） f ( x) = ( x − 1)0 ； g ( x) = 1 （2） f ( x) = x ； g ( x) = x 2 （3） f ( x) = x 2 ； g ( x) = ( x + 1) 2 （4） f ( x) =| x | ； g ( x) = x 2 例 3．已知函数 f ( x ), g ( x ) 分别由下表给出：
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⎧k = 1 ①②得 ⎨ ⎩a = 3 交点（1, 1）
例 7．略 例 8 ．B 例 9． （1）令
⎧ y = 3x − 2 ∴ ⎨ ⎩y = x
得 x = y =1
x +1 =t x
2
∴ x=
1 t −1
⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ +1 t −1⎠ f (t ) = ⎝ + t −1 2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ t −1⎠
⎧ x + 2( x ≤ −1) ⎪ 2 例 5． （1）已知 f ( x) = ⎨ x (−1 < x < 2) ，求： f (π ) ；若 f (a) = 3 ，求 a. ⎪2 x ( x ≥ 2) ⎩
（2）若函数 y =
ax − 1 ax + 4ax + 3
2
的定义域为 R，求 a 的取值范围。
凡是ϕ (x )的位置换成x
凡是x的位置换成ϕ (x )
例 6．已知 y = f ( x) 表示过点 (0,-2) 的直线， y = g ( x) 表示过点 (0, 0) 的直线，又
f (g(x)) = g( f ( x)) = 3x − 2 ，求两直线交点坐标。 ⎧ x + 2( x ≤ −1) ⎪ 2 例 7．已知 f ( x) = ⎨ x (−1 < x < 2) ， （1）求 f (π ) ， （2）若 f (a ) = 3 ，求：a.（与例 5（1）一致） ⎪2 x ( x ≥ 2) ⎩
4 ∴ s= 3
⎛4⎞ 又 f (s) = f ⎜ ⎟ = ⎝3⎠
例 1． 【解析】利用映射和函数的定义 （1）是映射，不是函数 （2）是映射，不是函数 （3）是映射，也是函数 （4）是映射，也是函数 （5）不是映射，也不是函数 例 2． 【解析】分析两函数的定义域和对应法则是否都相同 （1）定义域不同，不是 （2）对应法则不同，不是 （3）对应法则不同，不是 （4）是 例 3．1，2 （1） f ( x) 有意义， x − | x |≠ 0 例 4．
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