数列的最值问题及单调数列问题求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+01n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ；②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S .例1、在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；【变式训练】.等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围.(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值. 3. 【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}n a 是等差数列，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 等于 ．4.（2009安徽卷理）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是：（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 1806、（2010福建理数3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A ．6B ．7C ．8D ．95.【2016届重庆一中高三上期半期考试数学试题卷(理科)】已知等差数列{}n a 的公差0,d <若462824,10,a a a a ⋅=+=则该数列的前n 项和n S 的最大值为 ．6.【2014高考北京版理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.7.在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取得最大值，则d 的取值范围为 ．例2、已知一个正项等差数列前20项的和为100，那么147a a 最大值为 （ ）A ．25B ．50C ．100D ．不存在【变式训练】在等差数列}{n a 中0>n a ，且122060a a a +++=L ，则1110a a 的最大值等于2.已知正项等比数列{}n a 满足:7652a a a =+,若存在两项,m n a a 使得14m n a a a =,则14m n+的最小值为 _____________________ 例3（2010天津文15）设{}n a 是等比数列，公比2q =n S 为{}n a 的前n 项和. 记2117n n n n S S T a +-=，*.n N ∈设m T 为数列{}n T 的最大项，则m =【变式训练】、（2010辽宁理数16）已知数列{}n a 满足133a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为__________2、己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313a a a ，，成等比数列，若11a =，n S 是数列{}n a 前n 项的和，则2163n n S a ++的最小值为A ．4B ． 3C ．232-D ．923.【河南省实验中学2015届高三上学期期中考试，理15】设x 、1a 、2a 、y 成等差数列，x 、1b 、2b 、y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是 ． 4.（2008四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为_______例4、等差数列}{n a 中，22008a =，2008200416a a =-，则其前n 项和n S 取最大值时n 等于（ ） A ．503B ．504C ．503或504D ．504或505【变式训练】【2015-2016学年江西省赣州市十二县高三上学期期中联考】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若08<a ，89a a >，则使0>n S 成立的最小正整数n 为 ．A ．15B ．16C ．17D ．182.已知*)(10123N n n a n ∈-=，数列}{n a 的前项和为n S ，则使0>n S 的n 最小值是 ．3.【南昌二中2014—2015学年度上学期第四次考试高三数学（理）试卷】若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________．4.在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=，则满足1212n n a a a a a a +++>⋅⋅⋅L L L L 的最大正整数n 的值为________．5、(2011陕西理14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

6、若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的积，则称该数列为“m 积数列”．若正项等比数列{}n a 是一个“2012积数列”，且11a >，则其前n 项的积最大时，n = ________. 7【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值. 8、已知数列{}n a 为等差数列，若561a a <-，则数列{}n a 的最小项是第________项． 9、(2012四川理科20) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立。

（Ⅰ）求1a ，2a 的值；（Ⅱ）设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值。

10、某火山喷发停止后，为测量的需要距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……第()501n -至第50n 的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1吨、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推。

问：（1）离火山口1275米处火山灰为每平方米多少千克？（精确到1千克）？ （2）第几区内的火山灰总重量最大？（参考数据：240.980.61578=，250.980.60347=，260.980.59140=）2 数列与函数、不等式的结合中的最值问题(1)求数列}{n a 的前n 项和n S 的最值，主要是两种思路：①研究数列)(n f a n =的项的情况，判断n S 的最值；②直接研究n S 的通项公式，即利用类型2的思路求n S 的最值. (2) 求数列}{n a 的最值，主要有两种方法：①从函数角度考虑，利用函数)(x f y =的性质，求数列)(n f a n =的最值；②利用数列离散的特点，考察⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a 或⎩⎨⎧≤≤-+11k k k k a a a a ，然后判断数列}{n a 的最值情况.(3)对数列不等式恒成立问题，主要有两种方法：①通过参变分离法转化为数列的最值问题求解；②通过分类讨论，解决恒成立. 例1数列{}n a 中，112a =，111n n na a a ++=-（其中*n ∈N ），则使得12372n a a a a ++++≥L 成立的n 的最小值为 ．【变式训练】.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且11a =．（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 证明：对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<L ． 2.【2016届山东枣庄八中高三12月月考数学】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()244,n S n n n N *=-+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，令1,15,22n n n b a n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩， n T =22221231111n b b b b +++⋅⋅⋅+，求证：2n T <．2.【江西六校数学，理16】若正数项数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =,),(1ss n nP +点在曲线2(1)y x =+上.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)设11n n n b a a +=⋅,n T 表示数列{}n b 的前项和,若n T a ≥恒成立,求n T 及实数a 的取值范围.3.【2016届福建省仙游一中高三上学期期中考试】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，1145n n n S S S +-+=（2n ≥），n T 是数列{}2log n a 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求满足231111009(1)(1)(1)2016n T T T ---≥…的最大正整数n 的值．4.【2015届浙江省新高考单科综合调研卷文科数学试卷一】（本题满分15分）数列}{n a 首项11=a ，前n 项和n S 与n a 之间满足)2(1222≥-=n S S a n nn ．（Ⅰ）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）设存在正数k ，使12)1()1)(1(21+≥+++n k S S S n Λ对+∈∀N n 都成立，求k 的最大值．5.在数列{}n a 中，11,2a n =≥当时，其前n 项和n S 满足：)12(22-=n n n S a S . （Ⅰ）求证：数列}1{nS 是等差数列，并用n 表示n S ；（Ⅱ）令21n n S b n =+，数列{}n b 的前n 项和为.n T 求使得)3()12(22+≤+n m n T n 对所有n N *∈都成立的实数m 的取值范围．6.已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为()62'f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .。