2. 解 此 R 的关系图如下图。
a
d
bLeabharlann c[a]R = {a, b} = [b]R, [c]R = {c, d} = [d]R; A/R = {[a]R, [c]R} = {{a, b}, {c, d}}。
3. 证明. ：
(a) 自反性: 对任意 < a, b >∈ A, 有 a−b = a−b, 所以 < a, b >∼< a, b >， 即 ∼ 是自反的;
由 (1),(2) 和 (3) 知，∼ 是 A 上的等价关系。
4. 哈斯图如下；
1
12
46
2
3
1 子集 B = {2, 3, 6} 的极大元 6；极小元 2,3；最大元 6；最小元无；上界 6,12；下界 1；上确界 6；下确界 1.
5. (1) 满射；(2) 单射；(3) 双射；(4) 一般函数。
参考答案——7-特殊关系和函数
1. 解 R = {1, 2}×{1, 2} ∪ {3}×{3} ∪ {4, 5}×{4, 5} = {< 1, 1 >, < 2, 2 >, < 1, 2 >, < 2, 1 >, < 3, 3 >, < 4, 4 >, < 5, 5 >, < 4, 5 >, < 5, 4 >}.
=
(h
◦
f )(x
+
5)
=
f (h(x
+
5))
=
f(
x+5 2
)
=
2×
x+5 2
+
1
=
x
+
6。
2
6. g ◦ f (x) = f (g(x)) = f (x + 5) = 2(x + 5) + 1 = 2x + 11
f
◦
(h
◦
g)(x)
=
(h
◦
g)(f
(x))
=
(h
◦
g)(2x
+
1)
=
g(h(2x
+
1))
=
g(
2x+1 2
)
=
5+
2x+1 2
=
x
+ 5.5
g
◦
(h
◦
f )(x)
=
(h
◦
f )(g(x))
(b) 对称性: 对任意 < a, b >, < c, d >∈ A, 若 < a, b >∼< c, d >, 则有 a − d = c − b, 即 c − b = a − d, 所以 < c, d >∼< a, b >, 即 ∼ 是对称 的;
(c) 传递性: 对任意 < a, b >, < c, d >, < e, f >∈ A，若 < a, b >∼< c, d > 且 < c, d >∼< e, f >，则有 a − d = c − b 且 c − f = e − d。两式相 加后整理，可有 a − f = e − b, 所以 < a, b >∼< e, f >，即 ∼ 是传 递的.