地震学讲义, 武汉大学地球物理系 朱良保 编写 图11.1 点源在各向异性介质中产生的波前面。

波前面法向 射线方向 偏振方向

第11章 各向异性介质中的平面波 介质中一点的物理性质如果与方向有关, 该介质被称为各向异性介质. 微观晶体的物性一般是各向异性的. 如果晶体的排列杂乱无章, 宏观上就会表现出各向同性. 地球介质的各向异性主要表现在地壳与上地幔, 以及地球的内核. 孔隙及微破裂的定向排列, 结晶体的优势方向排列都会表现出地震波速宏观各向异性. 各向异性介质中的地震波传播理论比各向同性的要复杂的多, 描述介质弹性性质的参数也多. 但是，地球介质的宏观各向异性给地震波传播造成的影响比较微弱, 大多数观测结果缺乏有力的各向异性证据. 随着地震观测仪器精度与动态范围、观测手段的提高，各向异性的研究越来越受到重视。内核相对于地幔差速转动的发现就依赖于内核的各向异性模型。 首先我们看一个简单的例子，以此认识各向异性介质中波的复杂性。假设介质是均匀各向异性的。设地震波由一点发出，由于波向不同方向传播的相速度是不相同的，在特定的时间后形成的波前面（等相位面）不再是一个圆球，而是一个曲面。如图(11.1)所示，射线的方向是能量传播的方向，能量传播的速度叫群速度。波前面法向是相位传播的方向，也是波幔度方向，整个波前面是平面波等相位面的包络。从图中可以看出，射线与波前面并不垂直，能量传播的方向、相位传播的方向以及波的偏振方向不在同一个方向，即使是P波也可能如此。 11.1 相速度、群速度、偏振 我们用简谐平面波来演示上述特征。设平面波的位移形式为

)(exp),(xsgutitx，

或写成分量形式 )(exp),(xstigtxu

ii

（11.1）

其中波幔度矢量csˆs，c为相速度，sˆ为幔度单位矢量，是给定的已知量。相速度c是与幔度单位矢量sˆ有关的待定量. g

为位移偏振矢量，是与幔度单位矢量sˆ有关的待定矢量. 弹性动力学方程为

jijixttu

),(),(xx

. （11.2）

广义胡克定律

klijklijxuC

 （11.3）

将（11.3）带入（11.2）得

kjlijklixxuCtu

2),(x

。 （11.4）

将（11.1）带入（11.4）得 地震学讲义, 武汉大学地球物理系 朱良保 编写 ljkijkligssCg 或写成 0)(liljkijklgssC。 （11.5） 由幔度矢量的定义，可把（11.5）写成 0)ˆˆ(2liljkijklgcssC。 （11.6）

令jkijklilssCMˆˆ，（11.6）可写成 ggM2c. （11.7） 由(11.7)可知, 只要给定幔度矢量的方向sˆ, 相速度c以及偏振矢量g就是满足方程(11.7)的解. 方程(11.7)是求矩阵M的本征值及本征矢量问题. 由于M是实对称矩阵, 它一定存在三个相互正交的本征矢量, 而且相应的本征值为正的实数. 满足(11.7) g的非零解条件是

0det2IMc, (11.8)

上式(11.8)即为本征值2c所满足的方程. 为了表达(11.8)的涵义, 假设介质是各向同性的. 即

)(jlikjkilklijijklc. (11.9)

由此得 illiilssMˆˆ)(1, 代入(11.8)得到 0ˆˆ)(1det2ilillicss

. (11.10.)

由于本征值与本征矢量与坐标的选取没有关系(也就是坐标变换不会改变本征值与本征向量的解), 坐标的旋转也不会改变介质参数的表达形式, 因为介质是各向同性的. 我们选取1ˆ

x

与给定的幔度单位矢量sˆ重合, 即sxˆˆ1, 则 1ˆiis, 代入(11.10)得

00000002222ccc





. (11.11)

即 02222ccc



由此推得相速度c的一个解为 地震学讲义, 武汉大学地球物理系 朱良保 编写 2

c, P波的速度.

另外两个解相同

c, S波的速度.

对于P波, 设g为归一化的单位矢量, 即1232221ggg, 由(11.7)得到0,0,1321ggg. 即 sˆg, 偏振方向与相位传播方向相同. 这与已知的结果一致. 同样可以证明, 两个S波的偏振方向相互垂直, 而且它们也与P的偏振方向垂直. 对于一般的各向异性介质, 给定一个单位幔度矢量，本征值方程(11.8)有三个实根。它们分别代表准P波(qP)和两个准S波(qS)的相位传播速度. 由(11.7)能解出与本征值对应的三个相互垂直的本征矢量, 它们分别代表三种波的偏振方向. 能量传播的速度及传播方向由群速度矢量f来描述. 由能量密度及能流密度矢量的定义可以得到 uτfE . (11.12) 其中E为地震波能量密度, uτ为能流密度矢量, 记为uτJ. 一个周期内的平均得

JfE. (11.13) 在讨论能量时, 平面波应由(11.1)的实部来描述（请思考：为什么？）, 即 )(cos),(xsxtgtu

ii

. (11.14)

能量密度wkEEE, kE为地震波的动能密度, wE为势能密度. 容易证明, 一个周期内的平均动能密度与势能密度相等, 即wkEE. 由此得 kEE2. 由(11.14)可计算出平均动能密度

220221

411iTikgdtuTE



. (11.15)

2222

212

1

gigE. (11.16)

由(11.14)可计算出能流密度矢量

jlkijkljijiuuCuJ,

))((sin22mmjlkijklxstgsgC. (11.17)

一个周期内能流密度的平均值为

lkjijkljlkijklTiigsgCgsgCdtJTJ22021211

. (11.18) 地震学讲义, 武汉大学地球物理系 朱良保 编写 将(11.16)与(11.18)代入(11.13), 得 lkjijkligsgCf2222121g,

lkjijkligsgCfˆˆ. (11.19) 由(11.19)可知， 在各向异性介质中, 群速度方向(即能量传播的方向)可能与相位传播方向不同, 而且与偏正方向也不同. 11.2 横向各向同性介质中的平面波 以上我们已经感受到，地震波在各向异性介质中的传播会出现非常复杂的情况。但地震波在横向各向同性介质中的传播理论相对要简单的多。介质的物理性质关于某个轴旋转对称，介质的方向特性只与该方向与对称轴的夹角有关，这样的介质称为横向各向同性介质(transverse isotropy)。横向各向同性介质有5个独立的弹性参数。如图11.2所示，地震波的

速度只与入射角有关，而与方位角无关。跟各向同性介质一样，这种介质中的地震波分

为两种类型，SVP/qq及SHq，在水平层状介质中这两种类型的波是相互解偶的。下面我们以平面波的形式来探讨地震波在这种介质中传播的一些特性。 横向各向同性介质中有5个独立的弹性参数，它们分别用A, C, F, L, N表示. 设坐标轴

3x与旋转对称轴重合, 则本构方程（广义胡克定律）为 





 2 2 2 )( )2( )2(232313131212332211333322112233221111LeLeNeCeeeFFeAeeNAFeeNAAe



. (11.2.1)

由klijklijec可推得

11.2 在横向各向同性介质中，地震波的速度只与入射角θ有关，而与方位角φ无关。 地震学讲义, 武汉大学地球物理系 朱良保 编写 





LccNcFccNAcCcAcc232313131212223311331122333322221111,,2,,

(11.2.1b)

其他与上述无对称关系的弹性参数都等于零. （习题： 给定5个弹性参数，根据(11.19)和（12.1b）计算不同角的群速度矢量。） 注意, 本构关系的分量表达形式与坐标的选择有关. 不同坐标系下的应力与应变可通过张量变换相互表达.

将(11.1.1)代入(11.2.1), 然后将位移表示的ij代入(11.1.2)得到方程组







 )ˆˆˆ()(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆˆ()(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆˆ(323222123213132332223222112122331221123222112gCsLsLsgFLssgFLssgcgFLssgLsAsNsgNAssgcgFLssgNAssgLsNsAsgc



. (11.2.2)

写成本征矢量的形式为











3212321232221323132232221213121232221)ˆˆˆ()(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆˆ()(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆˆ(gggcgggCsLsLsFLssFLssFLssLsAsNsNAssFLssNAssLsNsAs

. (11.2.3)

(11.2.3)实际上就是(11.1.7)在横向各向异性介质中的具体表达形式. 我们利用(11.2.2)来探讨横向各向同性中地震波传播的特性. (a) 一般解

由于介质的特性关于轴3x旋转对称, 可设平面波在31xx平面内传播, 这时0ˆ2s, (11.2.2)简化为







 )ˆˆ( )ˆˆ()(ˆˆ )(ˆˆ)ˆˆ(223212232321131323311232112gLsNsgcgCsLsgFLssgcgFLssgLsAsgc



. (11.2.4)

上式可分为两组方程  )ˆˆ()(ˆˆ )(ˆˆ)ˆˆ(32321131323311232112gCsLsgFLssgcgFLssgLsAsgc



. (11.2.5)

)ˆˆ(2232122gLsNsgc (11.2.6) (11.2.5)与(11.2.6)表明, 横向各向同性介质中的地震波可分为两种类型, 一类是由(11.2.5)描述的SVP/qq, 另一类是(11.2.6)描述的SHq. 这两种类型是相互解偶的, 可

以单独分析处理. 在SVP/qq波型中, 波的偏振方向在31xx平面内. 而SHq波型的偏振与2x轴平行. 由(11.26)的非零解条件得到SHq波相速度随入射方向的变化公式