网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
第
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
7 页
电阻
iR t
1 R
vt
电感
iLt
1 L
t v d
ist
电容
iC
t
C
dv d
t
t
iR iL R LC
a ic
vt
b
根据KCL iRt iLt iC t iS t
系统的完全响应
第 17
页
求出齐次解rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解:
n
rt Aieit rp t i 1
利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应
的求解区间定为 t ,如0 果响应在0时刻没有跳变，通常
取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。
1
2
10
B1
, 3
B2
, 9
B3 27
所以，特解为
rp t
1 3

2 9
t
10 27
第 15
页
(2)
(原方程：
d2 rt
dt2
2
d rt
dt
3r t
d et
dt
et
）
当et et时, 很明显, 可选rt Bet。这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Bet 2Bet 3Bet et et
于是，特解为 1 et。 3
B 1 3
几种典型激励函数相应的特解
第 16
页
激励函数e(t)
E(常数)
响应函数r(t)的特解
B(常数)
tp
B1t p B2t p1 Bpt Bp1
e t
Be t
cos t sin t
B1 cos t B2 sin t
t pe t sin t B1t p B2t p1 Bpt Bp1 e t cos t t pe t cos t D1t p D2t p1 Dpt Dp1 e t sin t
r(0) ,
d r(0) , dt
d2 r(0) dt2
,
,
dn1 r(0) d t n1
如果响应在0时刻有跳变，则用 t 0 作为初始
条件： r(0 ) ,
d r(0 ) , dt
d2 r(0 dt2
特征根
22 3 0
1 2重根, 2 3
因而对应的齐次解为
rh t A1t A2 e2t A3e3t
第
例4
13
页
给定微分方程式
d2 rt
dt2
2
d rt
dt
3r
t
d et
dt
et
如果已知：1 et t 2; 2 et et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
1 将et t 2代入方程右端,得到t 2 2t, 为使等式两端
复习求解系统微分方程的经典法
第
经典法
11 页
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 n Ak ekt 注意重根情况处理方法。 k 1
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系
数的特解函数式→代入原方程，比较系数
定出特解。
全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引言
第 2
页
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解 系统的微分、积分方程式，这种方法比较直 观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域 方法的基础。
系统分析过程
第 3
页
列写方程: 根据元件约束,网络拓扑约束
经典法
解方程双零法零 零状 输态 入::利可用利卷用积经积典分法法求求解
m
d2 vt
dt2
f
d vt
dt
kvt
d FS t
dt
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。
两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方程表示。
二．n 阶线性时不变系统的描述
第 9
页
一个线性系统，其激励信号 e(t与) 响应信号 r(之t)间的 关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
•零状态响应： yzs t f 。t ht
第 5 页
§2.2 微分方程式的建立
微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述
一．微分方程的列写
第 6
页
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
为 t 0时的方程的解，初始条件
r(0 ) ,
d r(0 ) , dt
d2 r(0 ) , dt2
,
dn1 r(0 ) d t n1
第
例3
12 页
求微分方程 d3 dt3
r t
7
d2 dt2
rt
16
d dt
rt
12r t
et
的齐次解。
系统的特征方程为:
3 7 2 16 12 0
平衡，试选特解函数式
rp t B1t 2 B2t B3
这里, B1 , B2 , B3为待定系数。将此式代入方程得到
3B1t 2 4B1 3B2 t 2B1 2B2 3B3 t 2 2t
第 14
页
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
联解得到
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
代入上面元件伏安关系，并化简有
C
d2 vt
dt2
1 R
d vt
dt
1 L
vt
d iS t
dt
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
第
例2 机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧
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k
m
Fs
f
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩
擦刚体力运为动f，速外度加v牵t间引的力关为系FS可t以 ，推其导外出加为牵引力FS t 与
变换域法
经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与
(t)有关的问题有待进一步解决—— h(t)；
卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过
冲激响应来求。(新方法) yzs t f t ht
本章主要内容
第 4
页
•线性系统完全响应的求解； •冲激响应h(t)的求解； •卷积的图解说明； •卷积的性质；
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
E0
dm d
e(t ) tm
E1
dm1 e(t) d t m1
Em1
d e(t) dt
Em e(t )
若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。
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§2.3 用时域经典法 求解微分方程