初一下数学寒假培优训练一（余角、补角以及三线八角、平行线的判定）一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． 2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 4．互为余角的有关性质：① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2=90○，∠1+∠ 3= 90○，则∠ 2= ∠ 3． 5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A 、∠B 互补，反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A+∠B ＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C ． 6．对顶角的性质：对顶角相等． 二．互为余角、互为补角、对顶角比较 项目定义性质图形互余角两个角和等于︒90（直角）︒=∠+∠9021同角或等角的余角相等互补角两个角和等于︒180（平角）︒=∠+∠18021同角或等角的补角相等对顶角两直线相交而成的一个角两边分别是另一角两边反向延长线对顶角相等21∠=∠三、经典例题题剖析：例1．已知一个角的余角比它的补角的135还少︒4，求这个角。

例2．如图所示，AOB 是一条直线，︒=∠︒=∠90,90DOE AOC ，问图中互余的角有哪几对哪些角是相等的例3.如图l －2－1，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠AOE ，∠ 1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（ ）121 212 ABEOCD1 2 3 4A ．∠2 =45○B ．∠1=∠3C ．∠AOD 与∠1互为补角 D ．∠1的余角等于75○30′ 解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识． 四、巩固练习：1．_______的余角相等，_______的补角相等． 2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角 B ．一个角的补角一定比这个角大 C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D ．相等的角一定互余4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C 处的方向为（ ） A ．南偏西32○B ．东偏南32○C ．南偏西58○D ．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数． 7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=_ 8．如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是_________ 9．一个角的余角（ ）A 、一定是钝角B 、一定是锐角C 、可能是锐角，也可能是钝角D 、以上答案都不对 10．若两个角互补，则（ ） A 、这两个都是锐角 B 、这两个角都是钝角 C 、这两个角一个是锐角，一个是钝角 D 、以上结论都不对11．一个角等于它的余角的2倍，那么这个角等于它补角的（ ） A 、2倍B 、21倍 C 、5倍 D 、51倍 12．下列说法中正确的是（ ） A 、相等的角是对顶角B 、不是对顶角的角不相等C 、对顶角必相等D 、有公共顶点的角是对顶角13．三条直线相交于一点，所成对顶角有（ ） A 、3对B 、4对C 、5对D 、6对14．下列说法正确的是（ ） A 、不相等的角一定不是对顶角 B 、互补的两个角是邻补角C 、两条直线相交所成的角是对顶角D 、互补且有一条公共边的两个角是邻补角15．如图所示，AOE 是一条直线，︒=∠=∠90COD AOB ，则 （1）如果,301︒=∠那么=∠2 ，3∠= 。

（2）和1∠互为余角的角有 和1∠相等的角有 16．为下面推理填写理由。

（1）βα∠∠, 互为余角（已知），︒=∠+∠∴90βα（ ） A ED B C O32 4 1O 1 2ACBD（2）如图所示， AB 、CD 相交于点O （已知），21∠=∠∴（ ） （3）32,21∠=∠∠=∠ （已知），31∠=∠∴（ ）（4）︒=∠+∠90C A ，︒=∠+∠90C B （已知），∴∠A=∠B （ ） 五、关于同位角、内错角和同旁内角1．共同点：都是两条直线被第三条直线所截得到的不具有共公顶点的两个角之间的关系，这两个角有一条边在同一直线上。

2．不同点：同位角在两条直线的“同方”，第三条直线的“同侧”，（简称：位置相同的角，形状呈“F ”字形）。

内错角的两条直线“内侧”，第三条直线“两旁”（位置错开，形状呈“Z ”字形）。

同旁内角在两直线之间，第三条直线“同旁”（形状呈“C ”字形）。

另外注意：寻找“三线八角”关键是找准截线，截线是公共边所在的那条直线。

六、角位置的确定巩固练习：1．如图1所示，直线a 、b 、c 两两相交，共构成 对对顶角。

2．如图2，能与∠1构成同位角的角有（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3．如图2，能与∠1构成同旁内角的角有（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 4．如图3所示，已知四条直线AB ，BC ，CD ，DE 。

问：①∠1,∠2是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角.②∠1,∠3是直线_____和直线_____被直线_____所截而成的____角. ③∠4,∠5是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角. ④∠2,∠5是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角.5．如图4所示，下列各组判断错误的是【 】．（A ）∠2和∠3是同位角 （B ）∠1和∠3是内错角（C ）∠2和∠4是同旁内角 （D ）∠1和∠2是内错角 七、直线平行的条件（又叫平行线的判定）；1．同位角相等，两直线平行； 2．内错角相等，两直线平行；3．同旁内角互补，两直线平行； 4．同时平行于第三条直线的两条直线也互相平行。

例1．如图所示，1∠和4∠是什么角由哪两条直线被什么样的第三条直线所截2∠和3∠呢2∠和4∠呢1∠ABCD 1 234和A ∠呢A ∠和2∠呢例2．如图所示，AB 、CD 两相交直线与EF 、MN 两平行直线与EF 、MN 两平行直线相交，试问一共可以得到同旁内角多少对例3 (1) 如图所示，直线AB 、CD 被直线EF 所截，如果∠1=∠2，∠CNF=∠BME ，那么AB ∥CD ，MP ∥NQ ，请说明理由。

(2) 如图所示，直线b a ,被直线c 所截，1∠的3倍等于3,2∠∠是1∠的余角，求证：a ∥b .（3）已知：如图，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠1=∠2，求证：AB ∥GF八、巩固练习1．给下列证明过程填写理由：已知：如图所示，AB ⊥BC 于B ，CD ⊥BC 于C ，∠1=∠2，求证：BE ∥CF ．证明：∵AB ⊥BC 于B ，CD ⊥BC 于C,（ ） ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°（ ） ∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余．（ ） 又∵∠1=∠2，（ ） ∴_______=_______．（ ）∴BE ∥CF ．（ ） 2．如图，已知∠B+∠C+∠D=360°，则AB ∥ED ，为什么3．如图所示，已知︒=∠︒=∠︒=∠︒=∠10,30,45,25E CDE BCD B ，试说明，AB 与EF 有怎样的位置关系并说说你判断的理由。

ACEFN M DBA BCDEF P Q1 2 MNAB E13C DF24 ABC DE1 23bac AB CDAB C D FE G 12AA 1 A 2B 1 B 24.已知：如图，∠B 1＋∠B 2=∠A 1＋∠A 2＋∠A 3 （即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和），求证：AA 1∥BA 35．下列说法正确的是（ ） A 、同位角相等B 、同旁内角互补C 、若︒=∠+∠+∠180321，则3,2,1∠∠∠互补D 、对顶角相等 6．同一平面内有三条直线c b a ,,，若c b b a ⊥⊥,，则a 与c （ ） A 、平行B 、垂直C 、相交D 、重合7．一个人从A 点出发向北偏东︒60方向走了4m 到B 点，两从B 点向南偏西︒15的方向走了3m 到C 点，那么ABC ∠等于（ ） A 、︒45 B 、︒75 C 、︒105 D 、︒1358．如图所示，根据下列条件：︒=∠+∠∠=∠∠=∠180,,B BED F ACB AOD A ，可以判定那两条直线平行，并说明判定的依据。

9．已知：如图，FE ⊥AB ，CD ⊥AB ，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB 。

10．如图2-11，直线AB 、CD 相交于O 点，∠AOD 与∠BOD 叫做______角；∠AOD 与∠BOC 叫______角；若∠AOD=2∠BOD ，则∠BOD=______度，∠AOC=______度．11．如图2-14，直线AD 、BC 被CE 所截，∠C 的同位角是______，同旁内角是______；∠1与∠2是_____、____被____所截得的_____角；AB 、CD 被AD 所截，∠A 的内错角是______，∠A 和∠ADC 是______角；AB 、CD 被BD 所截，_______和______是内错角．12．如图2-15，∵AO ⊥OC ，OB ⊥OD ∴∠1______∠2（ ）ABE CFODADG EFC13 2 B13．已知：如图2-17，COD是直线，且∠1=∠3，说明A、O、B三点在一条直线的理由可以写成：∵COD是一条直线（）∴∠1+∠2=______（）∵∠1=∠3（）∵∠______＋∠3=______ ∴A、O、B在一条直线上．2．已知：如图2-18，直线AB、CD、EF交于点O，AB⊥CD，∠1=27°．求：∠2，∠FOB的度数．解：∵AB⊥CD，（已知）∴∠COB=______（）∵∠1=27°（已知）∴∠3=______，∵∠3______∠2（）∴∠2=______（）∵∠2+∠FOB=______（）∴∠FOB=______．。