第二章 相交线与平行线培优讲义如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点．邻补角的概念：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

对顶角的概念及性质：（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。

垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ”4321DCB A（2）垂线的性质：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.5.同位角、内错角、同旁内角的概念：①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.看图识角：（1）“F ”型中的同位角.如图.（2）“Z ”字型中的内错角，如图.DCBA87654321FE D CBA FMNDB F M NCAMNDB EMNECA（3）“U”字型中的同旁内角.如图.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。

平行线的性质：平行线之间的距离处处相等. 两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）平行线的画法：平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行平行线的判定两直线平行的判定方法方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行N MDANMBCNMCA简称：同旁内角互补，两直线平行 方法四 垂直于同一条直线的两条直线互相平行方法五 （平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行方法六 （平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行平行线的性质：性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简称：两条直线平行，同位角相等性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两条直线平行，内错角相等性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简称：两条直线平行，同旁内角互补两条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等【例1】 如图，直线AB 、CD 交于O ，OE 平分AOD ∠，30BOC BOD ∠=∠-°，求COE∠的度数．【解析】由BOC ∠、BOD ∠互为邻补角可知，180BOC BOD ∠+∠=︒．又30BOC BOD ∠=∠-︒，故105BOD ∠=︒，75BOC ∠=︒． 由对顶角相等可知，75AOD BOC ∠=∠=°．又OE 平分AOD ∠，故37.5AOE ∠=︒，从而可知，37.5105142.5COE ∠=︒+︒=︒．【答案】142.5︒【例2】 过点O 任意作7条直线，求证：以O 为顶点的角中，必有一个小于26︒. 【解析】略【答案】如图，点O 把7条直线分成14条射线，记为1OA ，2OA ，…，14OA .相邻两射线组成14个角，记为1α，2α，…，14α. 其和为一个周角：1214360ααα+++=︒. 若结论不成立，则i α≥26︒，(1,2,,14)i =.相加，得1214360ααα︒=+++≥2614364︒⨯=︒.这一矛盾说明，在1α，2α，…，14α中，必有一个角小于26︒.图3O EBD A C【例3】 平面上有()2n n ≥条直线两两相交，试证明：所得的角中至少有一个角不大于180n︒. 【解析】在平面上任取一点O ，将这n 条直线均平行移动通过O 点，即n 条直线交于同一点O ，将以O 为顶点的周角分成了n 对互不重叠的角度（共2n 个角），设为 122...n ααα，，，.由平行线性质可知，这2n 个角的每一个都与原来n 条直线中某两条直线的一个交角相等，即这2n 个角都是原来n 条直线两两相交所成的角.假设这些角都大于180n ︒，于是有 122180...2360n n nααα︒+++>⋅=︒，这与122...360n ααα+++=︒相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.【答案】在平面上任取一点O ，将这n 条直线均平行移动通过O 点，即n 条直线交于同一点O ，将以O 为顶点的周角分成了n 对互不重叠的角度（共2n 个角），设为 122...n ααα，，，.由平行线性质可知，这2n 个角的每一个都与原来n 条直线中某两条直线的一个交角相等，即这2n 个角都是原来n 条直线两两相交所成的角.假设这些角都大于180n ︒，于是有 122180...2360n n nααα︒+++>⋅=︒，这与122...360n ααα+++=︒相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.【例4】 三条不同的直线相交于同一点O ，其中某两条直线相交得到的一对对顶角是60︒．在以O 为顶点的六条射线上各取一不同于O 的点，按顺时针方向依次记为A B C D E F ，，，，，．则AOB ∠，BOC ∠，COD ∠，DOE ∠，EOF ∠和FOA ∠中至少有两个角是( )．A ．60︒B ．120︒C ．锐角D ．钝角【解析】如下图所示，画出两条直线在点O 处交成60︒对顶角后，第三条过点0的直线要么过60︒角内部，要么过120︒的内部(即60︒角的外部)．无论下图中(a)，(b)哪种情况，都至少有两个角是锐角．故选C ．【答案】C【例5】 求证：成对顶角的两个角的平分线，在同一直线上．A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O（a ）【解析】略【答案】如图，AB CD ，交于O ，则AOC ∠与BOD ∠成对顶角．设OE OF ，分别为AOC BOD ∠∠，的平分线。

∠AOE EOC BOF FOD ∠=∠∠=∠，，且AOC BOD ∠=∠，∠AOE BOF ∠=∠。

又∠180BOF FOD DOA ∠+∠+∠=︒∠180AOE FOD DOA ∠+∠+∠=︒。

即180EOF ∠=︒ ∠OE OF ，在同一直线上。

【例6】 如下图所示，在一个面积为1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路AE .现有一辆装满货物的卡车停放在D 点，如果卡车的速度是每分钟96米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？【解析】略【答案】因为卡车的速度是固定不变的．卡车11分钟内能否将货物运到铁路线旁，关键是能否在铁路线AE 上找到一点，使这点到D 点的距离不大于11分钟卡车所行驶的路程．由“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”，想到过点D 作AE 的垂线，然后再比较垂线段的长度与卡车11分钟能行驶的路程的大小，得出结论．如图所示，汽车由D 点到直线铁路段AE 的最短距离是由D 向AE 引的垂线DH ．连结DE ．1118432092160022AED S S ∆==⨯=正方形又11160080022AED S AE DE DH DH ∆=⋅=⨯⋅=⋅ ∠800921600DH ⋅= ∠1152DH =（米）卡车行1152米，需要11529612÷= (分钟)> 11(分钟)． ∠在11分钟内不能将这车货物由D 点运到铁路线旁．FE D CB A EDCBA【例7】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角.⑵ 三条平行直线呢?四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律.【解析】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.⑵ 当有3条平行线时，有34=12⨯对同位角，32=6⨯对内错角，32=6⨯对同旁内角；当有4条平行线时，有64=24⨯对同位角，6212⨯=对内错角，6212⨯=对同旁内角；当有5条平行线时，有10440⨯=对同位角，10220⨯=对内错角，10220⨯=对同旁内角.⑶ 当n 条线彼此平行时，被直线m 所截，即1l ∥2l ∥…∥n l ，则共有(1l ，2l )、(1l ，3l )、(1l ，4l )、…(1l ，n l )；(2l ，3l )、(2l ，4l )、…(2l ，n l )、…21(,)n n l l --、2(,)n n l l -、1(,)n n l l -共()()()112212n n n n --+-+++=对平行线，每对平行线被m 所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有()()14212n n n n -⨯=-对同位角，()()1212n n n n -⨯=-对内错角，()()1212n n n n -⨯=-对同旁内角． 【答案】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.⑵ 当有3条平行线时，有12对同位角，6对内错角，6对同旁内角； 当有4条平行线时，有24对同位角，12对内错角，12对同旁内角；当有5条平行线时，有40对同位角，10220⨯=对内错角，10220⨯=对同旁内角. ⑶ 当n 条线彼此平行时，被直线m 所截，即1l ∥2l ∥…∥n l ，则共有()12n n -对平行线，每对平行线被m 所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有()21n n -对同位角，()1n n -对内错角，()1n n -对同旁内角【例8】 下图有 对内错角．【解析】24．做此类型题：第一、要找三种关系角（同位角、内错角、同旁内角）关键在于寻找线段；第二、不同的线段找出来的三种关系角是不会重复；第三、在线段很H EDCBANMG FE D C BA多的时候，要找出相同特点的线段的条数m ，只需算出一条线段的关系角的对数n ，故该特点的线段的关系角为mn ．在本题中，线段DE 、DF 、EF ，每条线段都有2对内错角；线段AD 、BE 、CF ，每条线段都只有2对内错角；线段AB 、AC 、BC ，每条线段都只有1对内错角；线段AF 、BD 、CE ，每条线段都有3对内错角；故总的内错角为：2323133324⨯+⨯+⨯+⨯=．【答案】24【例9】 已知，如图，AEC A C ∠=∠+∠,试用两种方法证明AB CD ∥【解析】略【答案】解法一：过点E 作AEF A ∠=∠,则AB EF ∥,又AEC A C AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠, ∠EF CD ∥, ∠AB CD ∥解法二：作180AEF A ∠+∠=︒, 则AB EF ∥,∠360AEC AEF CEF ∠+∠+∠=︒， ∠360A C AEF CEF ∠+∠+∠+∠=︒， ∠180C CEF ∠+∠=︒， ∠CD EF ∥, ∠AB CD ∥【例10】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角.⑵ 三条平行直线呢?四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律.【解析】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.⑵ 当有3条平行线时，有34=12⨯对同位角，32=6⨯对内错角，32=6⨯对同旁内角；当有4条平行线时，有64=24⨯对同位角，6212⨯=对内错角，6212⨯=对同旁内角；当有5条平行线时，有10440⨯=对同位角，10220⨯=对内错角，10220⨯=对同ED CBAF ED CBAFE DCB A旁内角.⑶ 当n 条线彼此平行时，被直线m 所截，即1l ∥2l ∥…∥n l ，则共有(1l ，2l )、(1l ，3l )、(1l ，4l )、…(1l ，n l )；(2l ，3l )、(2l ，4l )、…(2l ，n l )、…21(,)n n l l --、2(,)n n l l -、1(,)n n l l -共()()()112212n n n n --+-+++=对平行线，每对平行线被m 所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有()()14212n n n n -⨯=-对同位角，()()1212n n n n -⨯=-对内错角，()()1212n n n n -⨯=-对同旁内角． 【答案】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.⑵ 当有3条平行线时，有12对同位角，6对内错角，6对同旁内角； 当有4条平行线时，有24对同位角，12对内错角，12对同旁内角；当有5条平行线时，有40对同位角，10220⨯=对内错角，10220⨯=对同旁内角. ⑶ 当n 条线彼此平行时，被直线m 所截，即1l ∥2l ∥…∥n l ，则共有()12n n -对平行线，每对平行线被m 所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有()21n n -对同位角，()1n n -对内错角，()1n n -对同旁内角【例11】 学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )A ．第一次向左拐30︒，第二次向右拐30︒B ．第一次向右拐50︒，第二次向左拐130︒C ．第一次向右拐50︒，第二次向右拐130︒D ．第一次向左拐50︒，第二次向左拐130︒【解析】选择A ，注意区分拐角是与前进方向所成的角，本题考察了同位角相等，两直线平行.教师可将此题的后三个选项拓展，让学生求出两次拐角后与原方向的夹角.【答案】A【例12】 如图，一条公路修在湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A ∠是120，第二次拐的角B ∠是150︒，第三次拐的角是C ∠，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求C ∠的大小.【解析】过点B 作OA ∥EF ,那么OA ∥EF ∥CN∵OA ∥EF∴120FBA A ∠=∠=︒，∴30FBC B FBA ∠=∠-∠=︒ ∵EF ∥CN ，∴180150C FBC ∠=︒-∠=︒【答案】150︒【例13】 在同一平面内有1a ，2a ，3a ，…，97a ，97条直线，如果12a a ∥，23a a ⊥，34a a ∥，45a a ⊥，56a a ∥，67a a ⊥，…，那么1a 与97a 的位置关系是 .【解析】略 【答案】寻找规律，11()a a ∥，12a a ∥，13a a ⊥，14a a ⊥；15a a ∥，16a a ∥，17a a ⊥，18a a ⊥…，4个一循环，974241÷=，所以971a a ∥【例14】 有一直的纸带，如图折叠时，α∠=_________．【解析】∵AC BD ∥∴30CBE ∠=︒由折叠问题可知：ABC ABD ∠=∠∴()118030752ABD ∠=︒-︒=︒∵AC BD ∥∴75ABD α∠=∠=︒【答案】75︒【例15】 如下图，已知AB CD ∥，14EAF EAB ∠=∠，14ECF ECD ∠=∠，求证：34AFC AEC ∠=∠【解析】略【答案】如右图所示，分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：AEC EAB ECD ∠=∠+∠444()EAF ECF EAF ECF =∠+∠=∠+∠ AFC FAB FCD ∠=∠+∠333()EAF ECF EAF ECF =∠+∠=∠+∠即有：34AFC AEC ∠=∠α30°EDCBAD CFEBA【例16】 如右图所示，已知AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠.求证：()12E A C ∠=∠+∠【解析】略【答案】过点E 作EF AB ∥，如图所示，因为 AB CD ∥，故EF CD ∥，于是ABE BEF ∠=∠，CDE FED ∠=∠，从而BED BEF FED ABE CDE ∠=∠+∠=∠+∠， 又BE DE ，平分ABC ADC ∠∠，，所以12ABE ABC ∠=∠，12CDE ADC ∠=∠，因此()12BED ABC ADC ∠=∠+∠，因AB CD ∥，故ABC C ∠=∠，ADC A ∠=∠，于是()12BED A C ∠=∠+∠， 即()12E A C ∠=∠+∠【例17】 如图AB CD EF CG ∥∥，平分140110ACE A E ∠∠=︒∠=︒，，．则______DCG ∠=． 21AB CDEF ABEFCDEDC BA FEDCBA【解析】∵EF CD ∥，∴18070ECD E ∠=︒-∠=︒，同理40ACD ∠=︒ ∴110ACE ∠=︒ ∵CG 平分ACE ∠ ∴55ECG ∠=︒∴705515DCG ECD ECG ∠=∠-∠=︒-︒=︒【答案】15︒．【例18】 如下图所示AB CD ∥．求证：360B E D ∠+∠+∠=︒【解析】略【答案】把B ∠，D ∠，E ∠都集中在某一顶点处，证明它们可构成一周角，或把它们其中某一个角分成两部分，证明每一部分分别与另两角的和是180︒． 证法1：如图，过B 点作FG DE ∥，交CD 于G ， 因为AB CD ∥，所以ABF CGF ∠=∠ 因为FG DE ∥，所以360ABF ABE FBE ∠+∠+∠=︒ 所以ABF D ∠=∠因为360ABF ABE FBE ∠+∠+∠=︒ 所以360D ABE E ∠+∠+∠=︒证法2：如图，过E 点作EF AB ∥，则180B BEF ∠+∠=︒ 因为AB CD ∥，所以EF CD ∥，180FED D ∠+∠=︒ 所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=︒又BEF FED BED ∠+∠=∠，∠360B BED D ∠+∠+∠=︒ 即360B E D ∠+∠+∠=︒GF E DCBAEDCBAFGEDCBA证法3：如图，延长CD 交BE 延长线于M ． 因为AB CM ∥，所以180B M ∠+∠=︒，CDE ∠为DME ∆的外角 所以CDE M MED ∠=∠+∠因为BED ∠为是DEM ∠的补角， 所以BED EDM M ∠=∠+∠因为180EDM DEM M ∠+∠+∠=︒ ∠360B E D ∠+∠+∠=︒【例19】 ∠如图∠，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠，1B ∠、2B ∠、…、1n B -∠之间的关系.∠如图∠，已知14MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、3A ∠、4A ∠，1B ∠、2B ∠之间的关系. ⑶如图⑶，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠之间的关系.【解析】略 【答案】（1）12121n n A A A B B B -∠+∠++∠=∠+∠++∠；(向右凸出的角的和＝向左凸出的角的和，1A ∠,n A ∠均为锐角)（2）123412180A A A A B B ∠+∠+∠+∠=∠+∠+；注意和第∠问的区别； （3）123(1)180n A A A A n ∠+∠+∠++∠=-⨯. 总结方法思想,巧作平行线.F E DCBA MEDCBA【例20】 如图所示，两直线AB CD 、平行，则l 23456∠+∠+∠+∠+∠+∠= ( )A ．630︒B ．720︒C ．800︒D ．900︒【解析】分别过E F C H ，，，点做AB 的平行线，再求各个角度的和．选D【答案】D.【例21】 如图所示，AB ED ∥，A E B C D αβ=∠+∠=∠+∠+∠，，证明：2βα=【解析】略【答案】证法l ： 因为AB ED ∥，所以180A E α=∠+∠=︒．(两直线平行，同旁内角互补)过C 作CF AB ∥．由AB ED ∥，得CF ED ∥ (平行于同一条直线的两条直线平行) 因为CF AB ∥，有1B ∠=∠ (两直线平行，内错角相等) 又CF ED ∥，有2D ∠=∠，(两直线平行，内错角相等)所以12360B C D BCD β=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ (周角定义) 所以2βα= (等量代换)证法2： 由AB ED ∥，得180A E α=∠+∠=︒．(两直线平行，同旁内角互补) 过C 作CF AB ∥ （如图）．由AB ED ∥，得CF ED ∥.(平行于同一条直线的两条直线平行)因为 CF AB ∥，所以1180B ∠+∠=︒(两直线平行，同旁内角互补)， 又 CF ED ∥，所以2180D ∠+∠=︒(两直线平行，同旁内角互补)65HG 4321DCF EB ADCEBA21D CFEBA21D CFEBA所以(12)(1)(2)360B C D B D B D β=∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒所以2βα=．(等量代换)【例22】 已知AB CD ∥，点M N ，分别在AB CD ，上．（1）AB CD ，间有一点E ，点E 在直线MN 左侧，如图1，求证AME CNE MEN ∠+∠=∠． （2）当AB CD ，间的点E 在直线MN 右侧时，如图2，AME CNE MEN ∠∠∠，，直线有什么关系？（3）如图3，当点E 在AB CD ，外侧时，探索AME CNE MEN ∠∠∠，，之间有何关系？【解析】略【答案】（1）过点E 作EF AB ∥∴AME MEF ∠=∠ ∵EF AB AB CD ∥，∥， ∴EF CD ∥∴CNE NEF ∠=∠∴AME CNE MEN ∠+∠=∠ （2）过点E 作EF AB ∥ ∴180AME MEF ∠+∠=︒， ∵EF AB AB CD ∥，∥．∴EF CD ∥∴180NEF CNE ∠+∠=︒，360AME MEF NEF CNE ∠+∠+∠+∠=︒， ∴360AME CNE MEN ∠+∠=︒-∠． （3）过点E 作EF AB ∥， ∴AME MEF ∠=∠ ∵EF AB AB CD ∥，∥ ∴EF CD ∥． ∴CNE NEF ∠=∠∴AME CNE MEN ∠=∠+∠.图1NME DCBA图2NME D CBA图3NMEDCB A图1NME DFCBA图2NME D FCBA【例23】 如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB ∠=∠=︒，E ，F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，OE 平分COF ∠． ⑴ 求EOB ∠的度数；⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．【解析】略．【答案】⑴ 40︒；⑵ 1:2；⑶ 存在，60OEC OBA ∠=∠=︒．【例24】 作图题：在方格纸中，将△ABC 向右平移3个单位得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1．【解析】分别找出△ABC 向右平移3个单位后对应的关键点，然后顺次连接即可． 【答案】如下图图3NMED FCB AABC E FO所画△A 1B 1C 1即为所求．【点评】本题考查了平移变换中的作图问题，属于基础题，关键是找出平移后的关键点．【例25】 将∠ABC 沿AD 平移，A 点平移到点D ，画出平移后的∠DEF ．【解析】连接AD ，过B 、C 分别做AD 的平行线，并且在平行线上截取BE=CF=AD ，连接ED ，EF ，DF ，得到的△DEF 即为平移后的△DEF ．【答案】．【点评】用到的知识点为：平移前后的图形的对应点的连线平行且相等．课后作业1.如图，直线AB CD ∥，30EFA ∠=，90FGH ∠=，30HMN ∠=，50CNP ∠=，则GHM∠的大小是 .【解析】过点G ，H 作AB ，CD 的平行线，那么AB OG HQ CD ∥∥∥∠AB OG ∥，HQ CD ∥∠30OGE AFE ∠=∠=︒，50MQR HQP CNP ∠=∠=∠=︒ ∠OG HQ ∥，∠60GHQ OGH HGE EGO ∠=∠=∠-∠=︒ ∠在MHQ ∆中,180MHQ HMQ MQH ∠+∠+∠=︒又∠180MQR MQH ∠+∠=︒，∠MHQ HMQ MQR ∠+∠=∠ ∠503020MHQ ∠=︒-︒=︒，∠40GHM GHQ MHQ ∠=∠-∠=︒【答案】2.请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明.（1）如图∠，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠.求证：MG NH ∥.从本题我能得到的结论是： .（2）如图∠，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠， CNE ∠.求证：MG NH ∥.从本题我能得到的结论是： .（3）如图∠，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠， CNE ∠，相交与点O .求证：MG NH ⊥. 从本题我能得到的结论是： .（4）如图∠，已知：AB ，CD 相交于O ，OF 平分AOC ∠，OE 平分BOD ∠.求证：F ，O ，E 三点共线.从本题我能得到的结论是： .40︒【解析】略 【答案】（1） 两直线平行，同位角的角平分线平行.（2）证明：∠AB ∠CD ，∠BMF CNE ∠=∠ 又∠MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠∠1122GMF BMF CNE HNM ∠=∠=∠=∠，∠MG ∠NH从本题我能得到的结论是： 两直线平行，内错角的角平分线平行. （3）证明：∠AB ∠CD ，∠180AMF CNE ∠+∠= 又∠MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠∠119022GMF HNE AMF CNE ∠+∠=∠+∠=∠18090MON GMF HNE ∠=-∠-∠=，∠MG ∠NH从本题我能得到的结论是： 两直线平行，同旁内角的角平分线垂直. （4）证明：∠AB ，CD 相交于O ，∠AOC BOD ∠=∠ ∠OF 平分AOC ∠，OE 平分BOD ∠∠12AOF AOC ∠=∠，12DOE BOD ∠=∠∠180AOC AOD ∠+∠=，∠180AOF AOD DOE ∠+∠+∠=即F ，O ，E 三点共线 从本题我能得到的结论是： 对顶角的平分线，在一条直线上. 要证明三点共线 ，我们可以通过证明这三点所成的角为180.3.如下图，已知：AB CD ∥，ABF DCE ∠=∠，求证：BFE FEC ∠=∠【解析】（法1）：如图所示，过点F 作FG AB ∥，过点E 作EH CD ∥，则AB FG HE CD ∥∥∥，则1ABF ∠=∠，4DCE ∠=∠，FED CBA23∠=∠，又因为ABF DCE ∠=∠，所以14∠=∠， 即BFE FEC ∠=∠（法2）：如图所示，延长BF ，DC 相交于G 点，∠AB CD ∥，∠ABF BGD ∠=∠ ∠ABF DCE ∠=∠， ∠BGD DCE ∠=∠，∠BG EC ∥，∠BFE FEC ∠=∠如果延长CE ，AB 相交于H 点，如右图，也可用同样的方法证明（法3）：如右图所示，连接点B ，C∠AB CD ∥，∠ABC BCD ∠=∠， ∠ABF DCE ∠=∠，∠12∠=∠ ∠BF EC ∥，∠BFE FEC ∠=∠4.如图，△ABC 经过怎样的平移得到△DEF （ ）A 、把△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位B 、把△ABC 向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C 、把△ABC 向右平移4个单位，再向上平移2个单位D 、把△ABC 向左平移4个单位，再向上平移2个单位 【解析】根据平移的性质可知，图中DE 与AB 是对应线段，DE 是AB 向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的．【答案】由题意可知把△ABC 向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△DEF ．故选C ． 【点评】本题主要考查了平移的性质，观察图象，分析对应线段作答．4321ABCD EF GABCD EF21ABCD EF。