（3）结合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
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2.2 模糊集合论基础
2.2.2 模糊集合的运算 运算法则
（4）吸收律 A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A （5）分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)
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2.2 模糊集合论基础
2.2.1 模糊集的概念 模糊集合的表示方法
例4：集合F表示论域U中远大于0的数，论域U为 {5，10，20，50，100}，分别用分别用三种方法 表示模糊集合F。
1 F (u ) 100 1 2 u
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例2：人对温度的感觉(0C ~40C的感觉)：
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2.2 模糊集合论基础
2.2.1 模糊集的概念
例 3 ：设论域 U={ 张三，李四，王五 } ，评语为 “学习好”。设三个人学习成绩总评分是张三得 95分，李四得90分，王五得85分。
若采用隶属度函数：
x F ( x) 100
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2.2 模糊集合论基础
2.2.1 模糊集的概念
例2：人对温度的感觉(0C ~40C的感觉)：
经典集合：14.99C属于“冷”；15.01 C属于舒适。与人 的感觉一致吗？
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2.2 模糊集合论基础
2.2.1 模糊集的概念
（6）复原律（双重否认律）
A A
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2.2 模糊集合论基础
2.2.2 模糊集合的运算 运算法则
A B A B
A B A B
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2.2 模糊集合论基础
2.2.2 模糊集合的运算 运算法则
模糊集合与经典集合的运算基本性质完全 相同，但是模糊集合不满足互补率！
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2.2 模糊集合论基础
2.2.1 模糊集的概念 模糊集合与隶属度函数 模糊集合：边界不很明确的同一类模糊事物或模糊概 念的“集合”。 隶属度函数：元素属于该模糊集合的程度。
1 u A A (u ) 0 u A
F (u) 0, 1 : u属于F的程度
对象
智能控制系统分层递阶结构示意图
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2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 举个小例子
如何从人群中识别出自己认识的人？ 计算机怎么识别？
脸部特征（脸型，眼睛，鼻子等） 身材（高、矮，胖、瘦） 声音 年龄 走路特征
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2.1 引言
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2.2 模糊集合论基础
2.2.2 模糊集合的运算 由于模糊集是用隶属函数来表征的，因此两个子集之 间的运算实际上就是逐点对隶属度作相应的运算。
（5）补集 （6）交集 （7）并集
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2.2 模糊集合论基础
2.2.2 模糊集合的运算
例6：设论域U={u1，u2，u3，u4}中两个模糊子集 分别为
代数积
C AB
c ( x) A ( x) B ( x)
同时期，Mamdani和Ostergaard分别将模糊控制成功地应用 于蒸汽机和水泥窑的控制，为模糊理论的发展展现了光明 的前景。
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2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第三阶段 上世纪80年代，模糊理论的应用在深度和广度上 都有了较大进展，产生了大量的应用成果。 特别是在日本，模糊控制被成功地应用于废水处 理、机器人、汽车驾驶、家用电器和地铁系统等 许多领域，掀起了模糊技术应用的浪潮。模糊软 硬件也投入商业使用。
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主要内容
2. 模糊控制的理论基础
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 2.1.2 模糊控制的特点
2.2 模糊集合论基础
2.2.1 模糊集的概念 2.2.2 模糊集合的运算 2.2.3 隶属度函数的建立 2.2.4 模糊关系
2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑及其基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理
2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑及其基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理
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2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 传统控制理论的局限性
随着复杂系统的不断涌现，传统控制理论越来越多地显示 它的局限性。
1965 年 ， Professor Lotfi A. Zadeh 教授发表了开创性 的文章 Fuzzy Sets ，标志着 模糊理论的诞生。
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2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第二阶段 1973 年 Zadeh 又在他的重要文章 Outline of an approach to the analysis of complex systems and decision process中，引入了语言变量和模糊规则的概念，建立了模 糊控制的基本原理。
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2.2 模糊集合论基础
2.2.1 模糊集的概念
例 5 ：设论域 U={ 张三，李四，王五 } ，评语为 “学习好”。设三个人学习成绩总评分是张三得 95分，李四得90分，王五得85分。分别用三种方 法表示模糊集合“学习好”。
若采用隶属度函数：
x F ( x) 100
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2.1 引言
2.1.1 模糊控制的特点 （3）模糊控制易于被人们接受。 模糊控制的核心是控制规则，模糊规则是用语言来 表示的，如“今天气温高，则今天天气暖和”，易 于被一般人所接受。 （4）构造容易。 模糊控制规则易于软件实现。 （5）鲁棒性和适应性好。 通过专家经验设计的模糊规则可以对复杂的对象进 行有效的控制。
什么叫复杂系统？具体特征是什么？
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2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 传统控制理论的局限性
什么叫复杂系统？具体特征是什么？ （1）控制对象的复杂性
模型不确定或无法建立、 高度非线性、动态突变、多时间 标度、复杂的信息模式等。
（2）输入参数的复杂性
传统控制：通常处理较简单的物理量如电量（电压、电流、 阻抗），机械量（位移、速度、加速度）等 如今需求：要考虑视觉、听觉、触觉信号，包含了图形、 文字、语言、声音等信息
例如：概率算子，有界算子，平衡算子
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2.2 模糊集合论基础
2.2.2 模糊集合的运算 概率算子 概率算子有代数和，代数积运算，分别对应Zadeh 算子的 取大，取小运算。 代数和
ˆB C A
c ( x) A ( x) B ( x) A ( x)B ( x)
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2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第四阶段
上世纪90年代以来，模糊理论的研究取得了一系列突 破性的进展，例如自适应模糊控制，模糊系统的结构 和稳定性分析，模糊优化，模糊逼近等。 模糊理论已成为智能技术的三大支柱之一。
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2.1.1 模糊控制的发展概述 自然界中带有人类思维的模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄描述
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个子高低
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2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的由来
模糊控制（Fuzzy Control）来源于对人类经验控制 行为的模仿。 模糊控制以模糊集合论为数学基础
14
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的特点
（1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。 模糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设 计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。 （2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、 “中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模 糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活 动的体现。
0 .9 0 .2 0 . 8 0 .5 A u1 u2 u3 u4
0 .3 0 . 1 0 .4 0 . 6 B u1 u2 u3 u4
求 A∪B 和 A∩B
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2.2 模糊集合论基础
2.2.2 模糊集合的运算 运算法则
（1）幂等律 A∪A=A，A∩A=A （2）交换律 A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
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2.2 模糊集合论基础
2.2.1 模糊集的概念 经典集合
经典集合论中任意一个元素u与任意一个集合U之间的关系， 只是“属于”（1）或“不属于”（0）两种，它描述的是 有明确分界线的元素的组合。
例如“男人”和“女人”这样一对集合就是有明确分 界线的。 但对于“速度快”、“年轻”、“热”此类的集合描 述就没有明确的分界线。
现代智能控制方法
模糊控制
吴义鹏 yipeng.wu@
南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室
主要内容