导数的概念与基本运算1．导数的概念设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，自变量x 在点x 0有增量△x ，函数y ＝f (x )相应有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)，比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00是函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋△x 的平均变化率。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，则称函数y ＝f (x )在点x 0处有导数（又称可导），而这个极限值就叫做函数y ＝f (x )在点x 0处的导数（或变化率），记作f ' (x 0)或y'|0x x =，即)(x f '=x yx ∆∆→∆0lim＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000。
2．导数概念的某些实际背景瞬时速度是导数概念的一个物理背景，切线的斜率是导数概念的一个几何背景。
3．求导数的方法导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用。
教科书上只介绍了两个求导公式：C'=0，及()n x'=（n 为正整数）；两个法则：[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g '(x)， [Cf（x ）]'=C f '(x) 。
根据定义不难证明上述两个法则：[f(x)±g(x)]'=== ±=()f x '()g x '±；()Cf x '⎡⎤⎣⎦0lim x C ∆→==()Cf x '。
有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。
另外，∵=≈，∴当△x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。
（1）几种常用函数的导数公式如下：C ′=0（C 为常数）； (x m )′=mx m-1(m ∈Q)； (sin x )′=cos x ； (cos x )′= -sin x ； (e x )′= e x ； (a x )′= a xln a (ln x )′=x 1； (log a x )′=x1log a e （2）两个函数四则运算的导数(u +v )′=u ′+v ′； (uv )′=v u v u '+'； )0()(2≠'-'='v v v u v u v u 。
注意事项1．在导数的定义中，应注意：⑴当△x →0时，xy∆∆有极限是函数y ＝f (x )在点x 0处有导数的前提，不可忽视。
⑵函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，是借助于函数的极限来定义的，这时△x 是自变量，x 0是事先固定好的，是常量，而xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00是△x 的函数，导数f ' (x 0)就是自变量△x 无限趋近于0时，函数xy∆∆的极限。
（3）要注意函数的变化（增量），变化率（增量之比），局部变化率（求增量比的极限）的区别。
2．导数的另一个定义式令x ＝x 0＋△x ，得△x ＝x －x 0，于是f ' (x 0)＝00)()(limx x x f x f x x --→，它与f ' (x 0)＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000是一个意思。
3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ' (x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点M(x 0，f (x 0))处的切线的斜率。
4．导函数与在一点处的导数的区别与联系在点x 处求得的函数f ' (x )是随着点x 而变的，所以f ' (x )又可以看成x 的一个新的函数，称为原来的函数y ＝f (x )的导函数，简称导数。
函数f (x )的导数仍然是一个函数，而函数f (x )在定点x 0的导数则是一个常数。
f (x )在点x 0处的导数就是导函数f ' (x )在点x 0处的函数值。
导函数简称导数，如不特别指明求某一点处的导数，求导数就是指求导函数。
5．函数的可导性与连续性的关系函数y ＝f (x )在点x 0处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。
即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。
因此若函数f (x )在点x 0处不连续，则f (x )在点x 0处必不可导。
典型例题讲评例1．n ∈N * ，求函数y=x —n （x≠0）的导函数 分析：我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。
解： y'====－=－=－ .说明：这与n 为正整数时(x n )'= 法则相合（即以－n 代n ，即得上式），这会使我们猜测α∈R 时，=α，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上面的方程不同（不能再用二项式定理了）.例2．求证：若函数f (x )在点x 0处可导，则f (x )在点x 0处连续。
分析：运用可导和连续的概念。
解：设x =x 0+△x ，当0x x →时，0→∆x 。
∵函数f (x )在点x 0处可导，∴)(x f '＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，∴[])()()(lim )(lim )(lim 0000000x f x f x x f x x f x f x x x +-∆+=∆+=→∆→∆→∆ =)]()()([lim 0000x f x xx f x x f x +∆⋅∆-∆+→∆ =)(lim )()(lim 00000x f x xx f x x f x x +∆⋅∆-∆+→∆→∆=)(0)(00x f x f +⋅'=f （x 0）。
∴)()(lim 00x f x f x x =→，即f (x )在点x 0处连续。
例3．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离S=12gt 2其中t 为经历的时间，g=9.8m/s 2， 若V==g=9.8m/s ，则下列说法正确的是（ ）（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8m/s. （B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8m/s. （C ）在1s 末的速率为9.8m/s（D ）若△t ＞0，则9.8m/s 是1～1+△ts 时段的速率. 若△t ＜0，则9.8m/s 是1+△ts ～1时段的速率.分析：本题旨在强化对导数意义的理解，无论是从极限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（C ），但值得指出的是：中的△t 可正可负.答案：（C ）例4。
求下列函数的导数：（1）y =(1-x )(1-2x )； （2）y=(5x -4)3；（3）y =4x+ x 4-ln4； （4）y =ln(21x +-x )。
分析：根据函数的四则运算求导法则和复合函数求导法则进行求导。
解：（1）y ′=-(1-2x )-2(1-x )= 4x -3。
说明：也可以先将表达式化为y =1-3x +2x 2，再求导。
（2）y ′=3(5x -4)2·5=15(5x -4)2。
（3）y ′=4x ln4 + 4x 3-0=4x ln4+ 4x 3。
（4）y ′=xx -+211·(1211212-⋅+x x )=-211x+。
例5．定义在（α、β）上的函数f(x)满足f(1)=2，f ' (1)=3. （α＜1＜β）.（1）求 的值;（2）求 的值分析：本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故应该往导数定义的形式上去凑，这就需要设法把x→1转化为△x→0的形式.解：（1） ＝＝ （f(x)+2）f '(1)0lim x ∆→ [f(1+△x)+2]= f '(1)·(f(1)+2)=3·(2+2)＝12；（2）＝()1x +f '(1)0lim x ∆→ (1+1)=6.例6．已知f(x)=(x －a)(x －b)，g(x)=cx+d.（a 、b 、c 、d 为常数），G(x)=f(x)g(x). 求证：G'x=f'xg(x)+f(x)g'(x) 解：f(x)=x 2－(a+b)x+ab ()f x '=2x －(a+b). ()g x '=c∴()f x 'g(x)+f(x) ()g x '=[2x －(a+b)](cx+d)+c(x 2－(a+b)x+ab)=3cx 2+2(d －ac －bc)x+abc －ad －bd.又G(x)=[x 2－(a+b)x+ab](d+cx)=cx 3+(d －ac －bc)x 2+(abc －ab －bd)x+abd. ∴G'(x)=3cx 2+2(d －ac －bc)x+abc －ad －bd ∴G'(x)= ()f x 'g(x)+f(x) ()g x '.例7．（1）（1982年·全国高考试题）求y=cos 23x的导数；（2）（1987年·全国高考附加题）设y = x ln(1+x 2)，求y ′。
分析：（1）根据复合函数求导法则进行求导。
解：（1）y'=2cos3x ·(cos 3x )′=-2 cos 3x sin 3x ·(3x )′=-32 os 3x sin 3x =-32sin 31x。
（2）y'=ln(1+x 2)+2212x x +。
例8．（1）已知函数y =xx x x x 4323--+，求1|='x y（2）设f (x ) =x x )11(+，求)21(f '。
分析：（1）先将函数化为几个指数函数的和，再求导；（2）先将f (x )化为以e 为底的复合指数函数，再求)(x f '，最后求值。
解：（1）∵y = 2312123432-----+xx xx ，∴y ′=2522321)23(4)1()21(3232----⋅----⋅+⋅x x x x =25223216233---++-x x x x 。
∴1|='x y =252232116112313---⋅++⋅-⋅=217；(2)∵f (x )= )11ln(xx e+，∴)(x f '=)11ln(xx e +[)11ln(x x +]′=x x )11(+[)11ln(x++xx x 1112+-⋅]=x x )11(+[)11ln(x +-11+x ]。
∴)323(ln 3)21(-='f 。
说明：第（1）题如果直接用四则运算求导法则求导，将增加运算量。