期末复习（三）一元一次方程01知识结构图02重难点突破重难点1 一元一次方程的相关概念【例1】如果关于x 的方程213x +=和方程202k x --=的解相同，那么k 的值为__________.方法指导求方程中某些字母的值时，只要将方程的解代入方程，即可得到关于待求字母的方程，解这个方程即可.变式训练1.下列各式是一元一次方程的是（ ）2A. 36 B. 3422C. 30 D. 1243x x x x x y x +==-+=+=-+ 2.若1x =是方程20ax bx +-=的解，则a b +的值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1-重难点2 等式的性质【例2】（柳州中考）小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示.问：这两个苹果的重量分别为多少克?【解答】方法指导本题是一道数形结合的应用题，在天平平衡中巧妙地考查了等式的性质，使学生学会用“等式的观点”来看天平的平衡.变式训练3.若a b =，则在①33a b -=-；②32a b =；③43a b -=-；④3131a b -=-中，正确的有_____________.（填序号）重难点3 元一次方程的解法【例3】解方程：21101136x x ++-=. 【解答】方法指导解一元一次方程时，要灵活安排各个步骤的次序（不一定每个步骤都要用到），这样往往可使计算简便，在整个求解过程中，要注意避免去分母、去括号、移项时常出现的错误.变式训练4.解方程：15(75)2(53)x x x --=+-.重难点4 一元一次方程的应用【例4】目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如表：（1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？【解答】方法指导列一元一次方程解答实际问题，关键是找出包含全部题意的相等关系，然后再根据题意列出方程.变式训练5.【关注传统文化】（邵阳中考）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.意思是有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ）A.大和尚25人,小和尚75人B.大和尚75人,小和尚25人C.大和尚50人,小和尚50人D.大小和尚各100人6.体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元.则购进篮球__________个、排球_________个.03思想方法突破【例5】解方程：113(75)(57)(75)7(57)37x x x x ---+-=-. 【思路点拨】本题可以直接去括号求解，但似乎有点繁琐，如果将75x -（）看作一个整体，那么求解时能更方便些.【解答】方法指导整体思想：当一个问题中未知数较多，一个一个地求解比较复杂，或有时不能求解时，可将其中满足某一共同特征的固定式子看作一个整体，利用整体思想求解，既便于列方程，又便于解方程.【例6】有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上到达C地执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5km，水流的速度为每小时2.5km，A，C两地间的距离为10km，如果乙船由A地经过B地再到达C地共用了4h，问：乙船到达C地时，甲船距离B 地有多远？【解答】方法指导分类讨论思想：对于实际问题列方程时，若条件中给出的等量关系表述不明确，则必须进行分类讨论.关键是要分清不明确的条件中可能产生的情况.【例7】如图，数轴上两个动点A，B开始时所对应的数分别为8-，4，A，B两点各自以一定速度在数轴上运动，且A点运动的速度为2个单位/秒.（1）A，B两点同时出发相向而行，在原点处相遇,求B点运动的速度；（2）A，B两点按上面的速度同时出发，向数轴的正方向运动，几秒时两点相距6个单位？（3）A，B两点按上面的速度同时出发，向数轴的负方向运动，与此同时，C点从原点出发向同方向运动，且在运动的过程中，始终有:1:2CB CA=，若干秒后，C点在10-处，求此时B点的位置.【思路点拔】（1）利用路程÷时间即可；（2）需分情况讨论：①B点在A点右边；②A点在B点右边；（3）设C点速度为y，利用:1:2CB CA=可列方程，求出y值，从而求出B点位置.【解答】方法指导数形结合思想：在研究问题的过程中，由数思形、由形想数，把图形和蕴含的数量关系巧妙地结合起来，使问题更直观，更容易解决.如：解决在数轴上的行程问趣，关键运用数形结合思想，将运动路程用数轴上两点间的距离表示. 04复习自测一、选择题（每小题4分，共32分）1.已知下列方程：①123x =；②13x =；③212x x =-；④221x =；⑤2x =；⑥21x y +=.其中一元一次方程的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52.下列方程中变形正确的是（ ）①360x +=变形为20x +=；②2853x x +=-变形为3x =； ③423x x +=去分母，得3224x x +=； ④(2)2(1)0x x +--=去括号，得2220x x +--=.A.①③B.①②③C.①④D.①③④3.当3x =时，式子23510x ax -+的值为7，则a 等于（ ）.2 B. 2C. 1D. 1A -- 4.解方程5121126x x +--=时，去分母后，正确的结果是（ ） A. 153211 B. 153211C. 153216 D. 153216x x x x x x x x +--=+-+=+-+=+--= 5.（曲靖中考）小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x 元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x 的方程正确的是（ ）A. 54(2)44B. 54(2)44C. 9(2)44D. 9(2)4244x x x x x x ++=+-=+=+-⨯= 6.现有9人14天完成一件工作的35，而剩下的工作要在4天内完成，假设每个人的工作效率相同，则需增加（ ）A.11人B.12人C.13人D.14人7.（枣庄中考）某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（ ）A.240元B.250元C.280元D.300元8.（台州中考）甲、乙两运动员在长为100m 的直道AB （A ，B 为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A 点起跑，到达B 点后，立即转身跑向A 点，到达A 点后，又立即转身跑向B 点⋅⋅⋅⋅⋅⋅若甲跑步的速度为5m/s ，乙跑步的速度为4m/s ，则起跑后100s 内，两人相遇的次数为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（每小题4分，共24分）9.如果43260a x -+=是一元一次方程，那么方程的解为___________.10.已知23x =是方程333542m x x m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的解,则m =___________. 11.（襄阳中考）王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋，分给朋友们品尝，如果每人分5袋还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，则王经理带回孔明菜___________袋.12.现规定一种新的运算a bad bc c d =-，那么33924x =-时，x =_________.13.一列方程如下排列：1142x x -+=的解是22,162x x x -=+=的解是33,182x x x -=+=的解是4,x =⋅⋅⋅，根据观察得到的规律，写出其中解是6x =的方程：____________.14.（绍兴中考）书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打七折.小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是_________元.三、解答题（共44分）15.（16分）解方程：（1）31223x x --=+； （2）3(56)320x x -=-；（3）321123x x x --+=-； （4）0.10.2130.020.5x x -+-=. 16.（8分）已知方程232353x x -=-与方程133()24n x n n -=+-的解相同，求2(227)n -的值.17.（8分）根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高__________cm ，放入一个大球水面升高_______cm ；（2）如果要使水面上升到50cm ，应放入大球、小球各多少个？18.（12分）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请求出商场有哪几种进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元.销售一台丙种电视机可获利250元.在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案?参考答案【例1】5【例2】由题意，得50y =+①，30050x y +=+②，把①代人②，得250350y +=.解得150y =.所以200x =.故两个苹果的重量分别是200g ，150g.【例3】去分母，得2(21)(101)6x x +-+=.去括号，得421016x x +--=.移项,得410621x x -=-+.合并同类项,得65x -=.系数化为1，得56x =-. 【例4】（1）购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只，进货款恰好为46000元，（2）商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只，利润为13500元.【例5】将75x -（）视作整体，原方程可变形为：113(75)(75)(75)7(75)37x x x x -+-+-=--，去分母、整体移项、合并同类项，得220(75)0x -=,即75x =.系数化为1，得57x =. 【例6】设乙船到达C 地时，甲船距离B 地x km.①当C 地在A ，B 两地之间时，由题意，得(7.5 2.5)4(7.5 2.5)107.5 2.57.5 2.5x x ⎛⎫+⨯---⨯= ⎪++⎝⎭,解得20x =.②当C 地在A 地的上游时,由题意，得(7.5 2.5)(7.5 2.5)4107.5 2.57.5 2.5x x ⎛⎫-⨯-+-= ⎪++⎝⎭，解得1003x =.答：乙船到达C 地时，甲船距离B 地20km 或1003km. 【例7】（1）4821x =÷÷=（）（单位/秒）.（2）设经过时间为t.①当B 在A 的右边时，则1226t t +-=，解得6t =.②当A 在B 的右边时，则2126t t -=+，解得18t =.综上，6秒或18秒时，A ，B 两点相距6个单位.（3）设C 点运动的速度为y 单位/秒，根据:1:2CB CA =，得221y y -=-（）.解得43y =.当C 点停留在10-处时，所用时间为4151032÷=（秒）,所以B 点的位量为157422-=-.变式训练1.B2.C3.①④4.解：12x =- 5.A 6.12 8复习自测1.B2.A3.A4.C5.A6.B7.A8.B9.3x =- 10.14- 11.33 12.1 13.51122x x -+= 14.248或296 15.解：（1）1118x =-.（2）35x =.（3）5x =.（4）5x =. 16.解：解方程232353x x -=-，得9x =.把9x =代入133()24n x n n -=+-中，得12274n -=,所以21(227)16n -=. 17.解：（1）2 3（2）设应放入x 个大球，10x -（）个小球，由题意，得32(10)5026x x +-=-，解得4x =.则106x -=.答：应放入4个大球，6个小球.18.解：（1）①设购进甲种电视机x 台，购进乙种电视机(50)x -台，根据题意，得150021005090000x x +-=（）.解得25x =.则5025x -=.故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电视机各25台；②设购进甲种电视机y 台，购进丙种电视机50y -（）台，根据题意，得15002500(50)90000x y +-=.解得35y =.则5015y -=.故第二种进货方案是购进甲种电视机35台，丙种电视机15台；③设购进乙种电视机z 台，购进两种电视机50z -（）台，根据题意,得2100250509000z z +-=（）.解得87.5z =（不合题意）.故此种方案不可行.（2）上述的第一种方案可获利：150×25+200×25=8750（元）；第二种方案可获利：150×35+250×15=9000（元）.因为8750<9000.所以应选择第二种进货方案，即购进甲种电视机35台，丙种电视机15台.。