xO1A22练习 十三(简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成)一、选择题1． 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。

若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 （C ）（A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。

解：(C) 竖直弹簧振子:kx mg l x k dt x d m )(22(mg kl ),0222 x dt xd弹簧置于光滑斜面上:kx mg l x k dt x d m sin )(22 (mg kl ),0222 x dtxd2． 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 （A ）（A ）A 超前2π； （B ）A 落后2π；（C ）A 超前π； （D ）A 落后π。

解：(A)t A x A cos ,)2/cos( t A x B3． 一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为： （B ） （A ）4T ； （B ）12T ； （C ）6T ； （D ）8T 。

解：(B)振幅矢量转过的角度6/ ,所需时间12/26/T T t ,4． 分振动表式分别为)π25.0π50cos(31 t x 和)π75.0π50cos(42 t x （SI 制）则它们的合振动表达式为： （C ）（A ）)π25.0π50cos(2 t x ； （B ）)π50cos(5t x ；（C ）π15cos(50πarctan )27x t； （D ）7 x 。

解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算)cos(21020212221A A A A A 5)25.075.0cos(4324322;712)75.0cos(4)25.0cos(3)75.0sin(4)25.0sin(3cos cos sin sin 1120210120210110 tg tg A A A A tg5． 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l 和2l ，且212l l ，则两弹簧振子的周期之比21:T T 为 （B ）（A ）2； （B ）2； （C ）2/1； （D ）2/1。

解：(B) 弹簧振子的周期k mT2 ,11l mg k , 22l mg k ,22121 l l T T 6. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： （B ）(A) 2max 2max /x m k v ； (B) x mg k / ；(C) 22/4T m k ； (D) x ma k / 。

解：B 7. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动表式为x 1 = A cos(t + )．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动表式为 （B ） (A) )π21cos(2 t A x ； (B) )π21cos(2 t A x ； xto A B1A 4/ 4/3 2A Ax O)0(A )(t A 3/ 6/(C) )π23cos(2 t A x ； (D) )cos(2 t A x 。

解：(B)作旋转矢量图8. 一质点沿x 轴作简谐振动，振动表式为 )312cos(1042 t x (SI 制)。

从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 （C ）（A ）18s ； （B ）16s ； （C ）12s ； （D ）14s 。

解：(C)作旋转矢量图s t 2/12//min 二、填空题1. 一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A =______； =______； 0=______。

解：由图可知m cm A 1.010 ,s T 12 ,16//2 s T ,作旋转矢量得3/02．单摆悬线长l ，在悬点的铅直下方2/l 处有一小钉，如图所示。

则单摆的左右两方振动周期之比21:T T 为 。

解：单摆周期g l T 2 ,22右左右左l l T T 3．一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点。

已知周期为T ，振幅为A 。

（1）若t = 0时质点过x = 0处且朝x 轴正方向运动，则振动方程为 x =＿＿＿＿＿＿＿＿。

（2）若t = 0时质点处于A x 21处且向x 轴负方向运动，则振动方程为x =＿＿＿＿＿。

解：作旋转矢量图,由图可知(1))22cos(t T A x ;(2))32cos(t T A x4．有两个相同的弹簧，其劲度系数均为k ，(1)把它们串联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；(2)把它们并联起来，下面挂一质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 。

解：两个相同弹簧串联, 劲度系数为2k,k m T 22 ;两个相同弹簧并联,劲度系数为k 2,k m T 22 .5．质量为m 的物体和一轻质弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T ，当它作振幅为A 的自由简谐振动时，其振动能量E = 。

解：弹簧振子振动周期k m T 2 ,224Tm k ,振动能量2222221A T m kA E6．若两个同方向、不同频率的谐振动的表达式分别为t A x π10cos 1 和t A x π12cos 2 ，则它们的合振动频率为 ，拍频为 。

解： 2 ,51 , 62 ,合振动频率Hz 211212 ,拍频Hz 1127．两个同方向的简谐振动曲线如图所示。

合振动的振幅为________________，合振动的振动方程为___________________。

解：作旋转矢量图12A A ; 22cos )(12 t TA A x 三、计算题1．质量m = 10 g 的小球按如下规律沿x 轴作简谐振动：)328cos(1.0t x (SI)．求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值以及振动的能量。

解：圆频率)/1(8s ,周期)(4/1/2s T ,振幅m A 1.0 ,初相3/20 振动速度最大值)/(5.28.081.0max s m A v , 加速度最大值)/(634.6)8(1.02222max s m A a振动的能量J mv kA E 222max 210125.35.201.02121212. 边长为l 的一立方体木块浮于静水中，其浸入水中部分的深度为0h ，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入水中部分的深度为h ，然后放手任其运动。

若不计水对木块的粘滞阻力,试证明木块作简谐运l2lx (cm) t (s)10 5 -101 4 7 10 13O 图题1)(t A )0(A x O 3/4 3/ x t O x 1(t ) x 2(t )A 1 A 2 T-A 2-A 1 )0(A xO2)0(A 3)0(2A x O2)0(1A 2 )0(A x3/动，并求振动的周期T 和振幅A 。

（水和木块的密度分别为12 和）解：木块平衡时：g l h mg 201 ,取液面为坐标原点，向下为x 轴正向,当木块浸入水中深度增加x 时mg F dt x d m 浮22,xg l g l g h x l dt x d l 21320212232)( x l g dt x d 2122 ,02022 x dt x d ,l g 21 ,gl T 1222 , 022020/h h v x A3.一水平放置的弹簧振子，振动物体质量为0.25kg ，弹簧的劲度系数25N m k -1。

(1) 求振动的周期T 和角频率； (2) 以平衡位置为坐标原点。

如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求振动的表达式； (3) 求振动速度的表达式。

解：(1) 角频率)/1(1025.0/25/s m k ,)(2.0/2s T(2) 作旋转矢量图,由图可知3/0310cos 15.0 t x （SI 制）, (3)310sin 5.1 t v （SI 制）4． 一个弹簧振子作简谐振动，振幅m 2.0 A ，如弹簧的劲度系数N/m 0.2 k ，所系物体的质量kg 50.0 m ，试求：（1）当系统动能是势能的三倍时，物体的位移是多少？（2）物体从正的最大位移处运动到动能等于势能的三倍处所需的最短时间是多少？解(1)由题意，3k p E E ,22212144kA kx E E E E p p k,得224x A , 10.12x A m (2) 由题意知 )/1(25.0/0.2/s m k，作旋转矢量图知：3/ ，最短时间为)(6//s t5．有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表达式为：130.05cos 10π4x t ，210.06cos 10π4x t（SI 制）（1）求它们合成振动的振幅和初相。

（2）另有一个振动300.07cos(10)x t ，问0 为何值时，31x x 的振幅最大；0 为何值时，32x x 的振幅最小。

解：(1)由图可知m A A A 078.02221 ,0108.84654tg(2) 31x x 的振幅最大时 43100; 32x x 的振幅最小时 200 ,)43(,450 或练习 十四 平面简谐波、波的能量一、选择题1．一个平面简谐波沿x 轴负方向传播，波速m/s 10 u 。

0 x 处，质点振动曲线如图所示，则该波的表达式(SI 制)为 (B ) （A ）)2π20π2πcos(2 x t y ；（B ）)2π20π2πcos(2 x t y ； （C ）)2π20π2πsin(2 x t y ；（D ）)2π20π2πsin(2 x t y 。

解：(B)由图可知s T 4 ,0 x 处质点振动方程22cos 22cos 00 t t T A y 波的表达式2202cos 22102cos 222cos 2 x t t x t t u x t y 2．一个平面简谐波沿x 轴正方向传播，波速为m/s 160 u ，0 t 时刻的波形图如图所示，则该波的表达式(SI 制)为 ( C )2A 4/ 4/3 A A)0(A x3/ o )m (y 222134)s (t )0(Ax3/ y O 2 )0(A x =0处质点在t =0时振幅矢量.yO 2)0(A x =0处质点在t =0 时振幅矢量.（A ）)2π4ππ40cos(3x t y ；（B ）)2π4ππ40cos(3 x t y ； （C ）)2π4ππ40cos(3 x t y ；（D ）)2π4ππ40cos(3 x t y 。