实验三 随机过程通过线性系统的分析
实验目的
1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理
1.白噪声通过线性系统
设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为
2
)()(0
2
N H S Y ⋅
=ωω （3.1） 输出自相关函数为
⎰
∞
∞
-=
ωωπ
τωτd e H N R j Y 2
0)(4)( （3.2）
输出相关系数为
)
0()
()(Y Y Y R R ττγ=
（3.3） 输出相关时间为
⎰∞
=0
0)(ττγτd Y （3.4）
输出平均功率为
[]
⎰
∞
=
2
02)(2)(ω
ωπ
d H N t Y E （3.5）
上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽
在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为
⎰
∞
=
∆0
2
2
max
)()(1ωωωωd H H e （3.6）
或
⎰
∞
∞
--=
∆j j e ds s H s H H j )()()(212
max
ωω （3.7）
3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统
若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化
随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容
设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路
（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
系统的传递函数为：
1111
)(+=+=
cR j c
j R c j H ωωωω
系统的功率谱密度为：
2
1)(12)11(2)()(0202
02
N cR N cR j N H S Y ⋅+=⋅+=⋅
=ωωωω 系统的自相关函数为：
τωτ
ωτ
ωωπωωπτRc j j Y e
Rc N d e cR N d e
H N R 1
020
2
41)(14)(4)(-∞
∞-∞
∞
-=+=
=
⎰⎰
系统的相关时间为：
RC d e d R R d RC
Y Y Y ====⎰⎰
⎰∞-∞
∞01
0)
0()()(τττττγττ
系统的等效噪声带宽为：
RC
d RC d H H
e 21)(1)()(10
20
2
2
max
π
ωωωωωω=
+==
∆⎰
⎰
∞
∞
（2）采用MATLAB模拟正态分布白噪声通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。
实验代码：
注释：
>> a=[1]; 分子的系数
>> b=[1,1]; 分母的系数
>> sys=tf(a,b); 生成RC系统的传递函数
>> t=0:1:49; 选取0到50为打出函数的区间
>> x=randn(50,1); 生成正态分布白噪声
>> lsim(sys,'g',x,t); 画出系统的输入输出图
>> k=lsim(sys,x,t); 求出系统的输出
>> y=ksdensity(k); 求出系统输出的概率密度
>> plot(y); 画出输出的概率密度图
实验结果：
输入和输出的噪声波形
概率密度
（3）模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。
实验代码：
注释
>> a=[1]; 分子的系数
>> b=[1,1]; 分母的系数
>> sys=tf(a,b); 生成RC系统的传递函数
>> t=0:1:99; 选取0到100为打出函数的区间
>> x=rand(100,1); 生成均匀分布白噪声
>> lsim(sys,'g',x,t); 画出系统的输入输出图
>> k=lsim(sys,x,t); 求出系统的输出
>> y=ksdensity(k); 求出系统输出的概率密度
>> plot(y); 画出输出的概率密度图
实验结果：
输入和输出的噪声波形
概率密度
（4）改变RC电路的参数（电路的RC值），重做（2）和（3），与之前的结果进行比较。
重做（2）
实验代码：
>> a=[1];
>> b=[0.1,1];
>> sys=tf(a,b);
>> t=0:1:49;
>> x=randn(50,1);
>> lsim(sys,'g',x,t);
>> k=lsim(sys,x,t);
>> y=ksdensity(k);
>> plot(y);
注释:此代码与2题基本相同，只是改变了传递函数分母的参数，各步骤实现的都是同样的过程。
实验结果：
输入和输出波形
概率密度
重做（3）
实验代码：
>> a=[1];
>> b=[0.1,1];
>> sys=tf(a,b);
>> t=0:1:99;
>> x=rand(100,1);
>> lsim(sys,'g',x,t);
>> k=lsim(sys,x,t);
>> y=ksdensity(k);
>> plot(y);
注释:此代码与3题基本相同，只是改变了传递函数分母的参数，各步骤实现的都是同样的过程。
实验结果：
输入和输出函数
概率密度
实验原理：
本实验中我们主要研究了均匀分布和高斯分布的白噪声通过线性系统的特性，在试验中我们主要使用了sys（）语句来生成线性系统的传递函数，然后使用了lsim语句画出系统在特定输入的情况下的输出，并通过ksdensity函数求出了输出的概率密度，这就是整个过程在MATLAB 软件的实现原理。
实验心得体会：
在本次实验中，我们在MATLAB上面实现了线性系统的仿真，这个将随机信号相关章节真正地在软件上得到了实现，使我们获益匪浅，极大地帮助了我们了解随机信号有关线性系统的描述，有助于我们进一步深入地学习。