抽屉原理
知识框架
一、 知识点介绍
抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．
二、 抽屉原理的定义
（1）举例
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义
一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案
（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数
余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()1
1x
n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．
重难点
抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。
本讲的主要教学目标是： （1） 理解抽屉原理的基本概念、基本用法； （2） 掌握用抽屉原理解题的基本过程； （3） 能够构造抽屉进行解题； （4） 利用最不利原则进行解题；
（5）利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
例题精讲
（一）、直接利用公式进行解题
（1）求结论
【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？【巩固】年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”
你知道张老师为什么这样说吗？
【例 2】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。
图8
【巩固】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？
【例 3】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．
【巩固】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．
【例 4】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？
【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由．
【例 5】求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．
【巩固】求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得()()()
a b c d e f
---是105的倍数．
（2）求抽屉
【例 6】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?
【巩固】100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.
（3）求苹果
【例 7】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。
问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？
【巩固】一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同．
（二）、构造抽屉利用公式进行解题
【例 8】在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一
样．你能说明这是为什么吗？
【巩固】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？
【例 9】从2、4、6、8、、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？【巩固】请证明：在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104.
【例 10】从1，2，3……，2010，2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？
【巩固】从1至2013这2013个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？
【例 11】从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．
【巩固】从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．
【例 12】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？
【巩固】在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米．
【例 13】时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n个扇形中总能恰
好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．
【巩固】如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立．
【例 14】从1，2，3，……，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？
（三）、最不利原则
【例 15】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次．本届活动至少要准备道
决赛试题．
【巩固】一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。
如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？
【例 16】有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里．一次摸出小球8个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？
【巩固】在100张卡片上不重复地编写上1~100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？
【例 17】一个口袋里分别有红、黄、黑球4，7，8个，为保证取出的球中有6个同色，则至少要取小球______个。
【巩固】一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
【综合题】从1，2，3，4，5，……，99，100这100个数中任意选出51个数，证明：（1）在这51个数中，一定有两个数互质；
（2）在这51个数中，一定有两个数的差等于50；
（3）在这51个数中，一定存在9个数，他们的最大公约数大于1.
课堂检测
【随练1】把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．
【随练2】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．
【随练3】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？
家庭作业
【作业1】用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同．
【作业2】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
【作业3】袋中有外形安全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，每个小朋友只能从中摸出1个小球，至少有______个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样．
【作业4】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？
【作业5】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同.
【作业6】有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出个，才能保证有5个小球是同色的？
【作业7】班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？
【作业8】篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？
【作业9】黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，在黑暗处至少拿出几根筷子就能保证有一双是相同颜色的筷子？。